Sobre el Modelo Estándar
Contents
Sobre el Modelo Estándar#
Jose A. Hernando
Departamento de Física de Partículas. Universidade de Santiago de Compostela
Noviembre 2023
import time
print(' Last version ', time.asctime() )
Last version Mon Dec 18 10:45:54 2023
# general imports
%matplotlib inline
%reload_ext autoreload
%autoreload 2
# numpy and matplotlib
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.constants as units
Objetivos#
Conocer:
La unificación electrodébil.
El bosón \(Z\). La anchura del \(Z\) y la existencia de tres neutrinos.
El bosón de Higgs y la masa de los bosones \(W, Z\) y de los fermiones. Descubrimiento del Higgs.
Los elementos del SM#
Varios son los elementos que modelan el SM:
La unificación electrodébil previene que la sección eficaz \(e+e^+ \to W^+ + W^-\) ¡crezca infinitamente!
El mecanismo de Higgs y la rotura espontánea de simetría dotan de masas a los bosones \(W^\pm, Z\) y a los fermiones.
Las teorías deben preservar la simetría gauge local para ser renormalizables (y evitar que en los cálculos de las amplitudes aparezcan infinitos)
Hitos de la creacción del SM#
1964 Teoría del bosón de Higgs, Englert, Brout.
1961-1964-1967 Teoría electrodébil de S. Glashow, A. Salam and S. Weinberg.
1973 Descubrimiento de las corrientes neutras en Gargamelle (CERN)
1973 G.”t Hooft et al, renormalización de la teoría gauge.
1983 Rubbia et al, descubrimiento de los bosones \(W^\pm, Z\) en el CERN.
1990’s Los experimentos del CERN confirman el SM, la física del Z y la existencia de tres familias de neutrinos.
2014 Descubrimiento del Higgs en los experimmentos ATLAS y CMS del LHC.
Corrientes neutras, el bosón \(Z^0\).#
La interacción \(e^+ + e \to W^+ + W^-\), mediada por un fotón, presentaba un problema: crecía indefinidamente con la energía, a no ser que existía un bosón neutro, el \(Z^0\), que mediase en un nuevo diagrama de Feynman que a su vez interfiriese negativamente con el fotón moderando así la sección eficaz.
Esto bosón implicaba también la existencia de corrientes débiles neutras, en particular que un haz de neutrinos podría interaccionar neutramente con otras partículas, el neutrino se dispersaría, y si el neutrino tuviese la suficiente energía podría romper un nucleón.
El descubrimiento de las corrientes neutras#
Gargamelle, en el CERN, en los 70’s, fue el experimento que observó las corrientes neutras. Mediante un haz estaba compuesto principalmente por \(\nu_\mu\).
Las corrientes cargadas de neutrinos con los nucleones producían un \(\mu\), una partícula altamente penetrante.
Mientras que las corrientes neutras se esperaba que el neutrino escapase indetectado pero dejase trazas debidas a la ruptura de nucleón.
Gargamel era una gran cámara de burbujas, en un campo magnético, donde se tomaban fotografías pautadas con la llegada del haz de neutrinos
|
Evento de corriente neutra observado en Gargamelle [CERN] |
¡El neutrino interacciona con un nucleón sin producir su leptón asociado!
Las corrientes neutras observadas en Gargamelle estaban de acuerdo con la teoría de unificación electrodébil desarrollada unos años antes.
Las corrientes y el vértice#
Electromagnetimo#
Las corrientes electromagnéticas no cambian la carga, ni el sabor y conservan paridad.
|
Corriente electromagnética |
En el vértice con un fotón, introducimos (en la reglas de Feynman) la constante de acoplo \(e\) y la carga, \(Q\) del fermión:
Isoespín débil#
Recordemos que en las corrientes cargadas solo intervienen espinores a izquierdas de los fermiones (y de derechas de los antifermiones).
Y que las corrientes cargadas tienen lugar en parejas, por ejemplo (\(\nu_e,\; e\)).
Para representar esta realidad, el SM introduce el grupo de simetría SU(2)\(_L\), donde \(L\) indica quiralidad a izquierdas, asociado al isoespín debil.
Cada pareja de fermiones a izquierdas, Por ejemplo el \(\nu_e\) y el \(e\) formarán un dublete de isopín débil, con tercera componente \(\pm 1/2\) respectivamente, mientras que solo el electrón tendría además su singlete a derechas.
Sea \(\Psi^{(q)_L}(p)\) el espinor de Dirac a izquierdas del fermión \(q = \nu_e, e\) con cuadrimomento \(p\) se denota habitualmente de forma «compacta»:
E introducimos los espinores a derechas:
Notar que el neutrino no tiene componente a derechas
Para cada una de las generaciones obtenemos:
Por ejemplo, para el \(\nu_{eL}\), la tercera componente de isospín débil viene dada por:
Las corrientes cargadas#
Las corrientes cargadas acoplan dos fermiones a izquierdas en un duplete de isospín débil con un acoplo \(g_W/\sqrt{2}\). Y en el vértice introducimos las matrices de subida o bajada de isospín débil, \(\sigma^\pm_W = \frac{1}{2}(\sigma^1_W \pm i \sigma^2_W)\)
|
Corriente cargada |
Por ejemplo la corriente cargada de \(e \to \nu_e\) con \(W^+\) como portador quedaría:
donde hemos omitido el momento \(p_e, p_{\nu_e}\) de \(\Psi\).
De otra forma podemos decir del vértice de las corrientes cargadas tiene tres factores:
la constante de acoplo \(g_W/\sqrt{2}\)
la proyección de quiralidad a izquierdas \(\frac{1}{2} (I-\gamma^5)\).
la matriz de subida o bajada de tercera componente de isospín, \(\sigma^\pm_W\), que medialos estados de los dupletes de isospín débil.
Habitualmente se ignora la matriz \(\sigma^+_W\) en el vértice y simplemente se crean las corrientes con los espinoresde arriba y abajo del duplete.
La unificación electrodébil#
El SM establece la unificación entre fuerza electromagnética y débil.
Ambos procesos, electromagnetismo y débil, están ligados. El parámetro que determina su «mezcla» es el ángulo de Weinberg, \(\sin \theta_W\).
La intensidad de los acoplos entre las interacciones electromagnética \(e\), débil cargada, \(g_W\), y débil neutra, \(g_Z\), viene dada por:
El valor \(\theta_W \simeq 33^o\), se ha determinado experimentalmente en varios procesos físicos, (ver después):
Eso es, determinamos \(g_W, g_Z\) a partir de la carga del electron \(e\) (o de la constante de estructura fina \(\alpha\)) y del ángulo de Weinberg \(\theta_W\).
Las corrientes neutras#
Las interacciones con el \(Z\) no cambian el sabor de la partícula, ni tampoco su carga eléctrica, ni su tercera componente de isoespín débil.
Pero cambia de forma no trivial la paridad, porque el bosón \(Z\) tiene un acoplo diferente para la quiralidad de izquierdas y de derechas, dependiendo del fermión.
|
Corriente neutra |
La corriente neutra con el bosón \(Z\) tiene la forma:
donde \(g_Z\) es la constante de acoplo del \(Z\) y \(c_L, c_R\) los factores asociados a la parte de quiralidad del fermión.
El modelo estándar establece los coeficientes de acoplo del vértice con el \(Z\):
———- cL ———- |
———- cR ———- |
|---|---|
\(I^3_W - Q \sin^2 \theta_W\) |
\(-Q \sin^2 \theta_W\) |
Donde \(Q\) es la carga en unidades de electrón \(e\), y \(I^3_W\) es la tercerca componente de isospín débil
Por ejemplo para el \(\nu_e\) y el \(e\)
——- cL ——- |
——- cR ——- |
|
|---|---|---|
\(\nu_e\) |
\(1/2\) |
\(0\) |
\(e\) |
\(-1/2 +s^2_W\) |
\(s^2_W\) |
Donde \(s_W \equiv \sin \theta_W\)
La corriente neutra del neutrino con el \(Z\) será:
Mientras que la del electrón:
Aniquilación a muones, \(e+e^+ \to \mu+\mu^+\) y la asimetría adelante y atrás.#
En la aniquilación \(e + e^+ \to \mu + \mu^+\) intervienen el \(\gamma\) y el \(Z\). Nota que el portador debe ser necesariamente neutro.
|
aniquilación \(e+e^+ \to \mu + \mu^+\) mediada por el fotón (izda) o el \(Z\) (derecha) |
Recordemos los propagadores respectivos son proporcionales a:
donde \(m_Z = 91.2\) GeV es la masa del \(Z\), y \(q^2\) el cuadrado del cuadrimomento transferido al bosón.
Tenemos tres regímenes de \(q^2\) diferentes:
\(q^2 \ll m^2_Z\), en ese caso domina el propagador del fotón, la interacción es mayoritariamente electromagnética, y preserva paridad.
\(q^2 \sim m^2_Z\) domina el propagador del \(Z\), la interacción es mayoritariamente débil neutra, y cambia al pasar por el valor \(q^2 = m^2_Z\)
\(q^2 \gg m^2_Z\) los dos propagadores contribuyen con una fracción cada uno.
La figura muestra la sección eficaz \(\sigma(e+e^+ \to \mathrm{hadrons})\) con los datos de diversos experimentos y la curva teórica.
En la figura se muestra también la sección eficaz debida solo al fotón (curva punteada).
Se observa que la contribución del fotón, es dominante a baja energía. que luego domina la resonancia del \(Z\), y finalmente hay un equilibrio.
La sección eficaz no se explicaría sin la interferencia del \(Z\).
|
\(\sigma(e+e^+ \to \mathrm{hadrons})\) vs \(\sqrt{s}\) de [MT16.2] [LEP-SLD] |
En la región donde \(Z\) domine o sea relevante aparecen efectos de violación de paridad que dependerán de \(s^2_W\).
Experimentalmente calculamos asimetrías. Consideramos el eje dado por el choque \(e+e^+\) y la dirección hacia delante dada por el \(e\) y contamos cuantos \(\mu\) salen hacia delante, \(N_F\), forward y hacia atrás, \(N_B\), backwards, y calculamos la asimetría adelante-atrás, \(A_{FB}\):
Si no hay violación de paridad \(A_{FB} = 0\)
Estos son los valores experimentales obtenidos por el experimento DELPHI y el la predicción (línea) para \(s^2_W \simeq 0.23\).
|
Asimetría forward-backward \(e+e^+ \to \mu + \mu^+\) vs \(\sqrt{s}\) |
datos (puntos) del experimento [DELPHI] y predicción del SM para \(s^2_W \simeq 0.23\) (línea) |
Anchura de desintegración del \(Z\)#
El colisionador LEP \(e+e^+\) que operó durante los 90’s verificó con gran detalle las predicciones del SM, especialmente la física del Z.
Durante un periodo LEP operó a \(\sqrt{s} = m_Z = 91\) GeV produciendo millones de \(Z\).
Uno de los estudios más importantes de LEP es la medición de la anchura de desintegración de \(Z\).
Anchura de desintegración parcial#
La anchura de desintegración viene dada por:
En el caso de \(Z \to f + \bar{f}\), \(\sqrt{s} = m_Z\) y \(p^* = m_z/2\), (en el CM), si despreciamos la masa del fermión en comparación con la del \(m_Z\).
La anchura parcial de desintegración \(Z \to f + \bar{f}\) es:
Por ejemplo para \(\nu_e\) como \(c^{(\nu_e)}_L = 1/2, \; c^{(\nu_e)}_R = 0\):
Cuestión: Calcula las anchuras de desintegración parciales y totales de \(Z\) y sus fracciones de desintegración.
GF = units.value("Fermi coupling constant")
s2t = units.value("weak mixing angle")
MW = 80.34 # GeV
MZ = 91.19 # GeV
g2w = 8 * MW**2 * GF /np.sqrt(2)
g2z = g2w/(1-s2t)
gamma_nu = g2z*MZ/(96*np.pi)
print('gw {:5.4f}'.format(np.sqrt(g2w)))
print('gz {:5.4f}'.format(np.sqrt(g2z)))
print('Gamma nue {:5.4f} GeV'.format(gamma_nu))
gw 0.6526
gz 0.7403
Gamma nue 0.1657 GeV
nc = 3 # 3 colors for the quarks
pars = {'e':(-0.5+s2t, s2t), 'nue': (0.5, 0), 'u' : (0.5-2*s2t/3, -2*s2t/3), 'd': (-0.5+s2t/3, s2t/3)}
gamma = lambda cl, cr: g2z*MZ/(24*np.pi)*(cl**2 + cr**2)
gammas = {}
for key in pars.keys():
cl, cr = pars[key]
gammai = gamma(cl, cr)
gammai = nc * gammai if key in ('u', 'd') else gammai
comment = 'Gamma ' + key + ' {:5.4f} GeV'.format(gammai)
print(comment)
gammas[key] = gammai
Gamma e 0.0838 GeV
Gamma nue 0.1657 GeV
Gamma u 0.2894 GeV
Gamma d 0.3713 GeV
La anchura total del \(Z \to f + \bar{f}\) será la suma de las parciales:
donde \(3\Gamma_{ll} = \Gamma_{ee} + \Gamma_{\mu\mu} + \Gamma_{\tau\tau}\), \(\Gamma_{\mathrm{hadrons}}\), la anchura de desintegración a hadrones (la total a \(q\bar{q}\)) y \(N_\nu\) es el número de neutrinos, y \(\Gamma_{\nu\nu}\), la achura a un tipo de neutrino.
Los neutrinos no se observan, pero si medimos la anchura total \(\Gamma_Z\) podemos estimar el número de neutrinos, \(N_\nu\).
gamma_total = 3 * gammas['nue'] + 3 * gammas['e'] + 2 * gammas['u'] + 3 * gammas['d']
print('Total Gamma {:5.4f} GeV '.format(gamma_total))
for key in gammas.keys():
#n = 2 if key == 'u' else 3
br = 100 * gammas[key]/gamma_total
print('BR ' + key + ' {:3.1f} %'.format(br))
Total Gamma 2.4414 GeV
BR e 3.4 %
BR nue 6.8 %
BR u 11.9 %
BR d 15.2 %
Sección eficaz#
Aunque no la calcularemos, vamos a presentar ahora los distintos elementos que se necesitan en la sección eficaz de \(e+e^+ \to f + \bar{f}\) en el \(Z\), donde recordemos la contribución del \(\gamma\) es pequeña.
Sabemos que la sección eficaz viene dada por:
Donde en este caso \(p^*_i = p^*_f = m_Z/2\), en el CM, podemos despreciar las masas de los fermiones en comparación con \(m_Z\).
La sección eficaz expresada en función de las anchuras de desintegración parciales, \(\Gamma_{ee}, \Gamma_{\mu\mu}\) y total, \(\Gamma_Z\), es:
Las datos experimentales confirmaron que las anchuras \(\Gamma_{ee} = \Gamma_{\mu\mu}\) son iguales, como predecía el modelo.
Observamos:
Se trata de una función de tipo Breit-Wigner
En el polo \(\sqrt{s} = m_z\) obtenemos el máximo de la sección eficaz:
En los valores \(\sqrt{s} = m_Z \pm \Gamma_Z/2\) la sección eficaz:
O lo que es lo mismo la anchura a mitad de altura, FWHM, es \(\Gamma_Z\)
Cuestión Calcula el máximo de la sección eficaz para \(e+e^+\to \mu+\mu^+\) y \(e+e^+\to \mathrm{hadrones}\) y la curva se la sección eficaz para hadrones en el pico del \(Z\).
Gee = 0.0838 # GeV
Gmm = 0.0838 # GeV
Gnn = 0.1657 # GeV
Guu = 0.2894 # GeV
Gdd = 0.3713 # GeV
Ghad = 2 * Guu + 3 * Gdd
Gtot = Ghad + 3 * Gee + 3 * Gnn
#print(Gtot)
mz = 91.19 # GeV
Gz = 2.45 # GeV
sigma_mumu = (12 * np.pi)/(mz**2) * (Gee * Gmm)/Gz**2
sigma_had = (12 * np.pi)/(mz**2) * (Gee * Ghad)/Gz**2
sigma_tot = (12 * np.pi)/(mz**2) * (Gee * Gz)/(Gz**2)
hbarc = 0.197 * units.femto # GeV m
barn = 1e-28 # m^2
sigma_to_barn = (hbarc**2) / barn
print('sigma max (ee->mumu) {:3.1f} nbarns '.format(sigma_to_barn * sigma_mumu / units.nano))
print('sigma max (ee->had) {:3.1f} nbarns '.format(sigma_to_barn * sigma_had /units.nano))
print('sigma max (ee->Z) {:3.1f} nbarns '.format(sigma_to_barn * sigma_tot /units.nano))
sigma max (ee->mumu) 2.1 nbarns
sigma max (ee->had) 41.6 nbarns
sigma max (ee->Z) 60.2 nbarns
def sigma(s, Gff = Gmm):
return (12 * np.pi *s)/(mz**2) * (Gee*Gff/((s-mz**2)**2 + (mz*Gz)**2))
ss = np.linspace(mz-8, mz+8, 100)
plt.plot(ss, sigma_to_barn * sigma(ss*ss, Ghad) / units.nano);
plt.grid(); plt.xlabel(r'$\sqrt{s}$ (GeV)'); plt.ylabel(r'$\sigma$ (nbarn)');
Tres familias de neutrinos#
Uno de los resultados más importantes de la era LEP es la determinación del número de neutrinos.
Se obtiene a partir de la anchura de desintegración, \(\Gamma_Z\), del \(Z\), obtenida por la anchura de la resonancia en la sección eficaz \(\sigma(e+e^+ \to \mathrm{hadrones})\).
En la figura, la vista transversal de varios eventos en ALEP, \(e+e^+ \to Z\) y \(Z \to\) hadrons, \(e+e^+, \mu+\mu^+, \tau+\tau^+\):
|
\(Z\to\) hadrons, \(e+e^+\), \(\mu+\mu^+\), \(\tau + \tau^+\) [ALEPH] |
|
\(\sigma(e+e^+ \to \mathrm{hadrons})\) vs \(\sqrt{s}\) de los experimentos de LEP [PDG] |
La siguiente figura muestra la sección eficaz \(\sigma(e+e^+ \to \mathrm{hadrons})\) en función de \(\sqrt{s}\) obtenida por los experimentos de LEP: ALEPH, DELPHI, L3, OPAL.
Se muestra sobreimpuesta la curva teórica cuando consideramos \(N_\nu\) neutrinos.
Recordemos que el número de neutrinos, \(N_\nu\), entra en la anchura de desintegración:
A partir de la medida de \(\Gamma_Z = 2.4952 \pm 0.0023\), y de las anchuras medidas \(\Gamma_{ll}, \, \Gamma_{\mathrm{hadrons}}\) y del valor teórico de \(\Gamma_{\nu\nu}\):
Obtenemos el número de neutrinos:
Existen por lo tanto tres familias de neutrinos.
El bosón de Higgs#
El modelo de Higgs da respuesta (quizás la única posible) a los siguientes problemas graves que presentaba la teoría:
Los bosones débiles son masivos, sin embargo las teorías gauge exigen bosones sin masa. ¿Cómo dotar entonces de masa a los bosones \(W^\pm, Z\)?
La simetría electrodébil separa fermiones a derechas e izquierdas, \(u_L, u_R\), en dupletes y singletes, y exige que no tengan masas. ¡Pero sabemos que los fermiones tienen masa!
La sección eficaz, \(W^+ + W^- \to W^+ + W^-\), crece indefinidamente a no ser que un escalar, el Higgs, con los acoplos apropiados la controle.
El mecanismo de Higgs permite resolver los tres problemas de una forma económica.
Es imposible discutir sobre el mecanismo de Higgs sin recurrir de forma breve al TCQ y al Lagrangiano del Modelo Estándar.
Vamos a dar solo unas ideas que nos permitan entender su comportamiento y descubrimiento.
Los tres campos que componen las partículas elementales son:
escalar (bosón de Higgs),
espinorial (fermiones y anti-fermiones)
y vectorial (bosones de las fuerzas),
cuyas ecuaciones y lagrangianos son:
—– Tipo —– |
————— Escalar —————- |
———- Espinor ———— |
—— Bosón vectorial ———- |
Klein-Gordon |
Dirac |
Maxwell |
|
Ecuación |
\((\partial^\mu\partial_\mu + m^2) \, \phi = 0\) |
\((i\gamma^\mu \partial_\mu - m) \, \Psi = 0\) |
\(\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu\) |
Lagrangiano |
\((D_\mu \phi)^\dagger (D^\mu \phi) - m^2 \phi^\dagger \phi\) |
\(i\bar{\Psi}\gamma^\mu D_\mu \Psi - m \bar{\Psi}\Psi\) |
\(-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \left[+ \frac{1}{2} m^2 A_\mu A^\mu \right]\) |
Donde:
\(D_\mu\) es la derivada covariante generalizada, \(g\) es el acoplo, por ejemplo \(g=-e\) para el electrón en el electromagnetismo, y en ese caso \(A_\mu\) correspondería al campo del fotón.
El lagrangiano de espinores y bosones vectoriales (sin masa), por ejemplo del electromagnetismo es:
que invariante bajo la simetría gauge local, dada por un cambio de fase local continuo, \(g\theta(x)\), en cada punto \(x\):
Recordemos que para que sea invariante hemos tenido que introducir:
¡Pero el término de masas del bosón vectorial no es invariante gauge local!:
Si desarrollamos el término \(i \bar{\Psi} \gamma^\mu D_\mu \Psi\):
que es el acoplo de una corriente fermiónica, si \(g = -e\), la interacción de la corriente electromagnética del electrón, con el fotón. E interpretamos el término como un vértices de tres ramas con acoplo \(e\).
Que asociamos al vértice de la interacción electromagnética de un fermión con carga \(Qe\) con el fotón:
|
Corriente electromagnética |
Cómo el higgs otorga la masa a fermiones y bosones.#
Fermiones#
El término de masa asociado a los fermiones que aparece en el Lagrangiano es:
que podemos obtener si acoplamos los fermiones con un campo escalar \(\phi\), de la forma:
que corresponde a un vértice de tres ramas con un acoplo \(\lambda\) que llamamos de acoplo de Yukawa.
Consideremos ahora un campo complejo escalar particular, \(\phi\), con un valor esperado en el vacío, \(v\):
La interacción que hemos escrito anteriormente entre fermiones y el campo \(\phi\) queda:
El primer término podemos asociarlo a la masa del fermión:
La masa aparece como la fricción, via el acoplo de Yukawa, \(\lambda\), con el valor esperado del campo escalar (de Higgs) en el vacío, \(v\).
El segundo términdo \(\bar{\Psi} \Psi h\) veremos más adelante que lo interpretaremos como la interacción, desintegracion, del Higgs a un par fermión, anti-fermión.
O gráficamente, hemos pasado de la interacción del campo escalar, \(\phi\)
|
Acoplo del campo de Higgs con el fermíon |
A la de su desarrollo a partir del valor en el vacío, que nos da la masa y la interacción del higgs:
|
Masa de los fermiones y la interacción con el higgs, \(h(x)\) |
Bosones#
El mecanismo que dota de masa a los bosones es más complejo.
La masa de un bosón vectorial tendría un término (ver el lagrangiano de la tabla anterior)
A partir de la deriviada covariante aplicada al campo escalar obtenemos: $\( D_\mu \phi = (\partial_\mu + i g A_\mu) \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ v + h(x) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\partial_\mu h(x) + ig v \, A_\mu + i g h(x) A_\mu \right] \)$
En el lagrangiano del campo escalar aparece el producto escalar de la derivada covariante consigo misma, que si lo desarrollamos:
El término que hemos dejado explícito lo asociamos ahora con el término de masas del bosón.
En el Modelo Estándar, el cálculo es similar y obtenemos:
Esto es, la unificación electrodébil y el mecanismo de Higgs predicen:
A partir de los datos experimentales, \(M_z, \sin^2 \theta_W\), el SM predice,
¡que se aproxima mucho al valor experimental!
Esta relación dio credibilidad al mecanismo de Higgs antes de que se descubriera el Higgs.
s2t = units.value("weak mixing angle")
MW = 80.378 # GeV
MZ = 91.1876 # GeV
cw = np.sqrt(1 - s2t)
mw_pred = MZ * cw
print(' W mass esperada a primer orde {:4.3f} GeV, medida {:4.3f} GeV'.format(mw_pred, MW))
W mass esperada a primer orde 80.385 GeV, medida 80.378 GeV
El campo del bosón de Higgs#
Vemos que podemos dotar de masa a los fermiones y bosones vectoriales débiles con un campo con un valor especial en el vacío, \(v\), ¿pero de donde sale ese valor?
Modificamos ad hoc el Lagrangiano del campo escalar con masa \(m\),
por un potencial, \(V(\phi)\):
Un potencial particular conocido como el del sombrero mexicano:
y desarrollando el campo escalar alrededor del mínimo, \(v\), del potencial.
Las siguientes figuras muestran el potencial para un campo real y los casos \(\mu^2>0, \mu^2<0\) y su valor den el vacío (el mínimo).
higgs_potential = lambda phi, mu, xlambda : ((mu**2).real * phi**2)/2 + (xlambda/4) * (phi**2)**2
phis = np.linspace(-10, 10, 100)
mu = 6; xlambda = 1
plt.subplot(1, 2, 1); plt.plot(phis, higgs_potential(phis, mu, xlambda));
plt.subplot(1, 2, 2); plt.plot(phis, higgs_potential(phis, mu*(1j), xlambda));
El estado del vacío es el estado de mínima energía:
El el caso \(\mu^2 >0\) el potencial tiene un mínimo en \(v = 0\).
Mientras que el caso \(\mu^2 <0\) tiene mínimos en:
donde a \(v\) es el valor esperado en el vacío (vev).
El hecho que el estado en el vacío se situe en uno de los mínimos de potencial de los posibles equivalentes se conoce como rotura espontánea de simetría.
En el caso de que \(\phi\) sea un complejo obtenemos la curva del potencial conocida como sobrero mexicano, donde uno de los ejes es la componente real del campo y la otra la imaginaria:
|
potencial del campo complejo de Higgs \(V(\phi)\) [Wikipedia] |
Al establecer invariancia gauge, el campo de Higgs da lugar a las interacciones:
entre los bosones débiles, \(W^\pm, Z\) y el valor \(v\) del vacío, que interpretamos como la masa de los bosones \(W^\pm, Z\).
entre las dos componentes de quiralidad de los fermiones y \(v\), lo que da lugar a las masas de los fermiones.
a interacciones entre el higgs, \(h(x)\), y los bosones débiles, \(W, Z\), y dar lugar a desintegraciones del Higgs a los bosones vectoriales
a interacciones entre el higgs, \(h(x)\), y los fermiones, que a su vez da lugar a desintegraciones a pares fermión-antifermión
Además el higgs se acopla consigo mismo en vértices de tres y cuatro ramas, y con los bosones vectoriales débiles en vértices de cuatro ramas. Esto es, genera nuevas interacciones entre sí, y con los bosones vectoriales.
Las masas#
La fricción de los bosones y los fermiones con el vev del Higgs da lugar a las masas:
|
acción del vev sobre los fermiones y los bosones débiles |
En la tabla se muestra la relación entre las masas se relacionan con el vev y las costantes de acoplo:
—- fermión —- |
—- bosones \(W^\pm\) —– |
—— bosón \(Z\) —— |
—– Higgs —– |
|---|---|---|---|
\(m_f = \frac{1}{\sqrt{2}}\lambda_f v \) |
\(m_W = \frac{1}{2} g_W v\) |
\( m_Z = \frac{1}{2} \frac{g_W}{\cos \theta_W} v\) |
\(m_H = 2 \lambda v^2\) |
Observamos:
Hay un parámetro del modelo \(\lambda_f\), que se llama acoplo de Yukawa, para dar la masa de cada fermión y del vev \(v\). ¡Hay tantos acoplos de Yukawa como fermiones cargados!
Que la masa de los bosones vectoriales, \(m_W, m_Z\) está fijada por \(v\) y los acoplos, \(g_W, g_Z\).
Que la masa del Higgs depende de \(v^2\) y \(\lambda\). El parámetro \(\lambda\) solo interviene en la masa del Higgs.
El valor del \(v\) se puede determinar a partir de \(g_W, m_W\), o simplemente de \(G_F\):
GF = units.value("Fermi coupling constant") # 1/GeV^2
v = np.sqrt(1/(np.sqrt(2)*GF))
print('valor esperado del vacío {:4.1f} GeV'.format(v))
valor esperado del vacío 246.2 GeV
Las desintegraciones del bosón de Higgs#
La interacción del Higgs con los fermiones y bosones vectoriales determina sus fracciones de desintegración.
|
Canales de desintegración principales del Higgs |
Notar que el Higgs se acopla a sus canales de desintegración proporcionalmente a la masa de éstos:
—- fermión —- |
—- bosones \(W^\pm\) —– |
—— bosón \(Z\) —— |
|---|---|---|
\(\frac{\lambda_f}{\sqrt{2}} = \frac{m_f}{v} \) |
\(g_Z m_W \) |
\( g_Z m_Z\) |
Las fracciones de desintegracción de Higgs dependeran a qué canales pueda desintegrarse dependiendo de su masa.
Como el acoplo del Higgs es proporcional a la masa, aquellos canales permitidos con mayor masa son los favorecidos.
——— canal ——- |
—– \(Br\) —– |
|---|---|
\(H\to b + \bar{b}\) |
57.8 % |
\(H \to W^+ + W^-\) |
21.6 % |
\(H \to \tau + \tau^+\) |
6.4 % |
\(H \to g + g\) |
8.6 % |
\(H \to c + \bar{c}\) |
2.9 % |
\(H \to Z + Z^*\) |
2.7 % |
\(H \to \gamma + \gamma\) |
0.2 % |
En la tabla se muestran las fracciones de desintegración del Higgs para \(m_H = 125\) GeV.
Nota adicional Las desintegraciones \(H\to \gamma + \gamma, H \to g + g\) ocurren a través de diagramas de lazo, por ejemplo, con el intercambio en triángulo de un \(t\).
Descubrimiento del bosón de Higgs#
El bosón de Higgs se descubrió en 2012 en los experimentos ATLAS y CMS del LHC del CERN.
Con anterioridad los experimentos de LEP y los experimentos CDF y D0 de Fermilab habían constreñido el valor de su masa más ligera entre: \(115-150\) GeV.
Los experimentos y el acelerador LHC se diseñaron en los 90’s y su operación se inición a finales de los 2000’s.
En el LHC colisionan \(p+p\) a una energía \(\sqrt{s}= 7- 13\) TeV y con una luminosidad \(\mathcal{L}(t) = 10^{34}\) cm\(^{-2}\). Hay \(10^{11}\) protones por paquete y una frecuencia de colisión de 40 MHz (cada 25 ns).
El número de colisiones \(10^{9}\) por segundo y por cada cruce hay como máximo \(35\) colisiones, lo que de denomila pile-up (apilamiento).
Las sección eficaz \(p+p\) is del ~100 mbars en el LHC.
Las sección eficaz medida de producción del \(H\) para \(\sqrt{s}=13\) TeV es 54 pbarns.
Los canales de desintegración dónde la señal es más fácil distinguible del fondo son \(H\to Z+Z^*\) y \(H \to \gamma \gamma\).
Eso equivale a buscar una desintegración relevante entre \(10^{13}\).
El descubrimiento del Higgs en ATLAS y CMS#
En la figura se muestra el esquema del experimento CMS del LHC:
|
Esquema de un sector del Compact Muon Selenoid (CMS) del LHC |
El Higgs se descubrió en dos canales limpios (donde los sucesos de contaminación son o afectan menos).
\(H \to \gamma + \gamma\), buscando dos deposiciones en el calorímetro electromagnético, \(\gamma\)s.
Se calcula la masa invariante de los dos \(\gamma\), \(m_{\gamma\gamma}\), que provienen del punto de interacción.
En el canal \(H \to Z + Z^* \to (l+l^+) + (l'+l'^+)\), en cuatro leptones (\(4l\)), agrupados en dos parejas del mismo sabor y carga opuesta.
Se calcula la masa invariante de los 4 leptones, \(m_{4l}\).
La siguiente figura muestra la presenta la distribución de la masa invariante de \(2 \gamma\) (izda) para el caso de CMS y de \((4 l)\) para el caso de ATLAS con la estadística de Run-I del LHC
|
masa invariante para \(H \to \gamma \gamma\) (izda, [CMS]) y \(H \to Z+ Z^* \to 4 l\) (derecha, [ATLAS]) |
Observamos:
La presencia de un pico en la masa invariante en ambas distribuciones a 125 GeV.
Ese pico es incompatible con el fondo, en combinación a ~6 desviaciones estandars.
Con los datos del run-I del LHC se pudo concluir además:
que se trataba de una partícula escalar a partir de las distribuciones angulares de los \((4l)\) en el canal \(H\to 4 l\).
que el acoplo a otros canales \(\tau\tau^+, b \bar{b}\) es el esperado por el SM
En la figura dos eventos de ATLAS, identificados como \(H \to \gamma\gamma\) (izda) y \(H \to e+e^++\mu+\mu^+\)
|
|
\(H \to \gamma + \gamma\) event |
\(H \to 4l\) event ATLAS events |
Conclusions#
El SM:
El SM clasifica las partículas conocidas y describe con precisión las interacciones electrodébiles y fuertes entre ellas.
El SM se ha verificado en una gran cantidad de procesos físicos.
No obstante sabemos que los neutrinos tienen masa, lo que implica que debemos extender el SM.
Pero:
No incluye otra Física conocida, como la materia oscura, ¿qué partículas la forman?
El modelo tiene cinco parámetros fundamentales \(e, g_W, g_S, v, \lambda\), dos de ellos corresponden al Higgs. Experimentalmente \(\alpha, G_L, \alpha_S, m_Z, M_H\).
Tiene 9 parámetros adcionales, los acoplos de Yukawa (las masas de los leptones cargados y de los quarks); 4 más para acomodar la matriz CKM de los quarks, y 3 o 4 más para la PNMS de los leptones (la que rige las ocilaciones de neutrinos).
cuestiones abiertas#
¿Es el neutrino su propia antipartícula? ¿Cómo se acopla al Higgs?
¿Cuál es el origen de los valores de masas? ¿Por qué es tan pequeña la del neutrino?
¿Por qué hay 3 familias? ¿Qué relación guardan, si la hay, la matriz CKM y PNMS?
¿Es el Higgs único? ¿Es el Higgs compuesto?
¿Cuál es el origen del potencial del bosón de Higgs, \(V(\Phi)\)?
¿Hasta qué escala de energía, \(\Lambda\), es válido el SM? ¿A qué energía aparecerá nueva física?
Bibliografía#
[MT] Mark Tomsom, «Modern Particle Physics», Cambridge U. press, Temas 15, 16 y 17.
[AB] Alessandro Bettini, «Introduction to Elementary Particle Physcs», Cambridge U. press, Tema 9.
[PK] M. Peskik, Lectures on the Theory of the Weak Interaction, SLAC–PUB–17142, (2017), arXiv:1708.0943v1
PDG Particle Data Group.
[LEP-SLD] LEP and SLD Collaborations. 2006. Phys. Rept., 427, 257–454.
[DELPHI] P. Abreu et al., DELPHI Collaboration, Eur. Phys. J. C 11, 383 (1999).
[ALEPH] D. Decamp et al., ALEPH Collaboration, Z. Phys. C 48, 365 (1990)
[CMS] V. Khachatryan et al., CMS Collaboration, Eur. Phys. J. C 74, no. 10, 3076 (2014) arXiv:1407.0558
[ATLAS] G. Aad et al., ATLAS Collaboration, Phys. Lett. B 726, 88 (2013) Erratum: [Phys. Lett. B 734, 406 (2014)] arXiv:1307.1427