15. Boletín de problemas IV#

Jose A. Hernando

Departamento de Física de Partículas. Universidade de Santiago de Compostela

Noviembre 2024

import time
print(' Last version ', time.asctime() )

 Last version  Wed Dec 18 17:08:24 2024

# general imports
%matplotlib inline
%reload_ext autoreload
%autoreload 2

# numpy and matplotlib
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

import scipy.constants as units

ejercicio

Escribir explícita la expresión $\vec{\sigma} \cdot \vec{p}$ en función de las coordenadas cartesianas del momento $(p_x, p_y, p_z)$ y de las esféricas $(\text{p}, \theta, \phi)$. Demostrar que $(\vec{\sigma} \cdot \vec{p})^2 = \text{p}^2$

solución:

Como las matrices de Pauli son:

\[\begin{split} \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \;\; \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \;\; \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}. \end{split}\]

obtenemos

\[\begin{split} \vec{\sigma} \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} p_z & p_x-ip_y \\ p_x+ip_y & -pz \end{pmatrix} = \text{p} \begin{pmatrix} \cos\theta & e^{-i\phi} \sin\theta \\ e^{i\phi} \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \end{split}\]

A partir de ésta última expresión:

\[\begin{split} (\vec{\sigma} \cdot \vec{p})^2 = \text{p}^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{split}\]

solución

ejercicio

Verificar que el operador paridad sobre los espinores es $P = \gamma^0$, de tal forma que $P \, u_{s}(E, \vec{p}) \equiv \gamma^0 u_s(E, \vec{p}) = u_s(E, - \vec{p})$. Verificar que los espinores en reposo $u_s(m,{\bf 0}), \, v_s(m, {\bf 0})$, son autoestados de paridad con autovalores +1 y -1 respecticamente. Verificar con los espinores de helicidad en la dirección $z$ que la paridad invierte la helicidad.

Al aplicar inversión por paridad sobre la ecuación de Dirac del espinor obtenemos:

\[ (i\gamma^0 \partial_0 - i \gamma^k \partial_k - m) \, u_s(E, -\vec{p}) = 0 \]

Verificar que si multiplicamos por la izquierda $\gamma^0$ recuperamos la ec. de Dirac para los espinores $u_s(E, {\bf p})$.

solución

Tomemos los espinores:

\[\begin{split} u_s(E, \vec{p}) = N \begin{pmatrix} \chi_s \\ \kappa (\vec{\sigma} \cdot \hat{{\bf v}}) \chi_s \end{pmatrix} \end{split}\]

donde $N = \sqrt{E+m}$ es una factor de normalización, $\kappa = \text{p}/(E+m)$ es un factor cinemático, y $\hat{{\bf v}}$ el vector unitario de la velocidad y

\[\begin{split} \chi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \;\;\; \chi_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{split}\]

A aplicar

\[\begin{split} \gamma^0 u_s(E, \vec{p}) = N \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi_s \\ \kappa (\vec{\sigma} \cdot \hat{v}) \chi_s \end{pmatrix} = \\ N \begin{pmatrix} \chi_s \\ -\kappa (\vec{\sigma} \cdot \hat{{\bf v}}) \chi_s \end{pmatrix} = N \begin{pmatrix} \chi_s \\ \kappa (\vec{\sigma} \cdot (-\hat{{\bf v}})) \chi_s \end{pmatrix} = u_s(E, -\vec{p}) \end{split}\]

1.b) Los espinores en reposo son simplemente:

\[\begin{split} u_s(m, {\bf 0}) = \sqrt{2m} \begin{pmatrix} \chi_s \\ 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

La paridad cambia solo el bi-espinor de abajo, luego: $$ \gamma^0 u_s(m, {\bf 0}) = u_s(m, {\bf 0}) $$

Mientras que para las antipartículas, sus espinores son:

\[\begin{split} v_s(m, {\bf 0}) = \sqrt{2m} \begin{pmatrix} 0 \\ \xi_s \end{pmatrix} \end{split}\]

donde $\xi_2 = \chi_1, \; \xi_2 = \chi_1$

Al aplicar paridad si cambia los bi-espinores de abajo

\[ \gamma^0 v_s(m, {\bf 0}) = - v_s(m, {\bf 0}) \]

Luego $u_s(m, {\bf 0}), \, v_s(m, {\bf 0}))$ son autoestados de paridad con autovalores $+1, -1$ respectivamente.

1.c Si aplicamos paridad a los espinores de helicidad en la dirección $z$

\[ \gamma^0 u_\pm(p) = \]

La ecuación de Dirac aplicando paridad queda (notar que la derivadas de las coordenadas espaciales invierten el signo):

\[ (i\gamma^0 \partial_0 - i \gamma^k \partial_k - m) \, u_s(E, -\vec{p}) = 0 \]

Si multiplicamos por $\gamma^0$ por la derecha (esto es aplicamos la inversión por paridad de nuevo), dado que $\gamma^0 \gamma^k = - \gamma^k \gamma^0$

\[\begin{split} \gamma^0 (i\gamma^0 \partial_0 - i \gamma^k \partial_k - m) \, u_s(E, -\vec{p}) = 0 \\ (i\gamma^0 \partial_0 + i \gamma^k \partial_k - m) \, \gamma^0 \, u_s(E, -\vec{p}) = \\ (i\gamma^\mu \partial_\mu - m) \, u_s(E, \vec{p}) = 0 \end{split}\]

que es la ec. de Dirac para los espinores $u_s(p)$.

ejercicio

La transformación por carga, en la representación Pauli-Dirac, para las soluciones de Dirac es $C \, \Psi_s(x) \equiv i \gamma^2 \Psi^*_s(x) = \eta_C \Phi_s(x)$, (siendo $\eta_C$ una fase compleja), esto es cambiamos partícula por antipartícula. Verificar que para los espinores de helicidad (en la dirección $z$) la operación bajo carga es:

\[ C \, u_\pm(p) \equiv i\gamma^2 u^{*}_\pm(p) = \pm v_\pm(p) \]

Considera ahora la ecuación de Dirac con interacción con el campo electromagnético:

\[ [\gamma^\mu( i \partial_\mu - q A_\mu) - m] \, \Psi_s(x) = 0 \]

Aplicar la operación conjugación de Carga sobre la ecuación, esto es, aplica el complejo conjugado y luego multiplica por $i\gamma^2$ por la derecha, y verifica que obtienes la ec. de Dirac para las antipartículas. Usa que el campo electromagnético $A_\mu$ es hermítico. En vista de la ecuación que queda, ¿qué carga tienen las antipartículas?

solución:

Recordemos que en la representación de Pauli-Dirac, $\gamma^2$ es la única matriz compleja (el resto son reales)

\[\begin{split} i \gamma^2 = i \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ - \sigma^2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

Si lo aplicamos sobre $u_\pm(p)$, los espinores de helicidad en la dirección $z$.

\[\begin{split} i \gamma^2 u^*_+(p) = N \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \kappa \\ 0 \end{pmatrix} = N \begin{pmatrix} 0 \\ -\kappa \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = v_+(p) \end{split}\]

\[\begin{split} i \gamma^2 u^*_-(p) = N \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -\kappa \end{pmatrix} = N \begin{pmatrix} -\kappa \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = - v_-(p) \end{split}\]

Podemos hacerlo de forma génerica con $u_s(p)$

A partir de la expresión $u_s(p)$ en polares:

\[\begin{split} i \gamma^2 u^*_s(p) = N \, i \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ -\sigma^2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi_s \\ \kappa (\vec{\sigma} \cdot \hat{v})^* \chi_s \end{pmatrix} \end{split}\]

analicemos el caso $s = 1$:

\[\begin{split} \hat{C} u^*_1(p) = N \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \kappa \, \cos \theta \\ \kappa e^{-i\phi} \sin \theta \end{pmatrix} = N \begin{pmatrix} \kappa e^{-i\phi} \sin \theta \\ -\kappa \, \cos \theta \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}\]

y por otro lado, la expresión de $v_1(p)$ es:

\[\begin{split} v_1(p) = N \begin{pmatrix} \kappa e^{-i\phi} \sin \theta \\ - \kappa \cos \theta \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{split}\]

para $s = 2$

\[\begin{split} \hat{C} u^*_2(p) = N \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \kappa \, e^{i\theta }\sin \theta \\ -\kappa \cos \theta \end{pmatrix} = - N \begin{pmatrix} \kappa \cos \theta \\ \kappa \, e^{i\phi} \sin \theta \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

y por otro lado, la expresión de $v_1(p)$ es:

\[\begin{split} v_2(p) = N \begin{pmatrix} \kappa \cos \theta \\ \kappa e^{i \phi} \sin \theta \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{split}\]

Para la ec. de Dirac en presencia del campo $A_\mu$

\[ [\gamma^\mu(i\partial_\mu - q A_\mu) -m] \, \Psi_s = 0 \]

Si tomamos el complejo conjugado y multiplicamos por la izquierda por $i \gamma^2$

\[ i \gamma^2 \; [(\gamma^\mu)^* (-i\partial_\mu - q A_\mu) -m] \, \Psi_s^* = 0 \]

La única $\gamma^\mu$ que cambia al aplicar el conjugado es la $\mu=2$, como $(\gamma^2)^* = - \gamma^2$. Ahora como la $\gamma^2$ de la izquierda anti-conmuta con todas las gammas, $\gamma^\mu$ a excepción de con $\gamma^2$ con la que conmuta, tenemos.

\[ [-(\gamma^\mu) (-i\partial_\mu -q A_\mu) - m] \; (i \gamma^2) \, \Psi_s^* = 0 \]

Luego

\[ [\gamma^\mu (i \partial_\mu + q A_\mu) - m] \, \eta_C \Phi_s(x) = 0 \]

que es la ec. de Dirac para las antipartículas, pero ahora el signo de $q$ ha cambiado, antes era $-q$ y ahora $+q$. ¡Luego es la misma ecuación de interacción pero con la carga opuesta!

ejercicio

Determina el biespinor $\xi_\lambda(\hat{\bf v})$ que es autoestado de $(\vec{\sigma} \cdot {\hat {\bf v}})$ con autovalores $\lambda = \pm 1$. Usa la expresión de $(\vec{\sigma} \cdot \hat{\bf v})$ en polares.

Verifica que los espinores dados por:

\[\begin{split} u_\lambda(p) = N \begin{pmatrix} \xi_\lambda(\hat{\bf v}) \\ \lambda \kappa \, \xi_\lambda (\hat{\bf v})\end{pmatrix} \end{split}\]

son autoestados de helicidad con autovalores $\lambda$ y soluciones de la ec. de Dirac.

solución

(ver extensión cinemática, TM)

Cálculo de los autoestados

\[\begin{split} \begin{pmatrix} \cos\theta & e^{-i\phi} \sin\theta \\ e^{i\phi} \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} a \cos \theta + b e^{-i\phi} \sin \theta = \lambda a \\ a e^{+i\phi} \sin \theta + b \cos \theta = \lambda b \end{split}\]

de la primera obtenemos: $$ \frac{b}{a} = e^{+i\phi} \frac{(\lambda - \cos \theta)} {\sin \theta} $$

luego para $\lambda = +1$: $$ \frac{b}{a} = e^{+i\phi} \frac{(1 - \cos \theta)} {\sin \theta} = e^{i\phi} \tan \frac{\theta}{2} \

\[Para $\lambda = -1$\]

\frac{b}{a} = -e^{+i\phi} \frac{(1 + \cos \theta)} {\sin \theta} \ $$

y podemos tomar

\[\begin{split} \xi_+(\hat{\bf v}) = \begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{+i\phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix}, \;\;\; \xi_+(\hat{\bf v}) = \begin{pmatrix} -\sin \frac{\theta}{2} \\ e^{+i\phi} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix}, \;\;\; \end{split}\]

2- Sabemos que los dos bi-espinores de cada espinor de Dirac $u_\lambda(p)$, la parte de abajo se relaciona con la de arriba por:

\[ u^b_\lambda = \kappa \, (\vec{\sigma} \cdot \hat{\bf v}) \, u^q_\lambda \]

tomando $u^a_\lambda = \xi_\lambda(\hat{\bf v})$, al ser éste autoestado de $(\vec{\sigma} \cdot \hat{\bf v})$ con autovalores $\lambda = \pm 1$, los espinores solución de la ec. de Dirac y autoestados de helicidad quedan:

\[\begin{split} u_\pm(p) = N \begin{pmatrix} \xi_\lambda(\hat{\bf v}) \\ \lambda \kappa \xi_\lambda(\hat{\bf v})\end{pmatrix} \end{split}\]

ejercicio

Demuestra que la matriz $\gamma^5$ cumple:

\[ (\gamma^5)^2 = I, \;\; (\gamma^5)^\dagger = \gamma^5, \;\; \gamma^5 \gamma^\mu = - \gamma^\mu \gamma^5 \]

Demostrar que $P_L = \frac{1}{2}(1-\gamma^5)$ y $P_R = \frac{1}{2}(1-\gamma^5), $ son proyectores, (los proyectores de quiralidad a izquierda $L$ o derecha $R$), esto es, cumplen:

\[ P^2_R = P_R, \; P^2_L = P_L, \; P_L + P_R = I, \; P_L P_R = P_R P_L = 0. \]

Calcula la proyección de quiralidad a izquierda y derecha de $u_\pm(p_z)$, los espinores de helicidad, donde $\vec{p}$ va en la dirección $z$. Considera el caso de partícula ultrarelativistas $E \gg m$.

Demostrar que la inversión de paridad revierte los proyectores de quiralidad, esto es: $P^{-1} \, P_{L/R} \, P = P_{R/L}$.

solución

Demostramos las condiciones de proyectores:

\[ P^2_L = \frac{1}{2}(1-\gamma^5) \frac{1}{2}(1-\gamma^5) = \frac{1}{4} (1 - 2 \gamma^5 + (\gamma^5)^2) = \frac{1}{4}(2 - 2 \gamma^5) = \frac{1}{2} (1 - \gamma^5) = P_L \]

\[ P^2_R = \frac{1}{2}(1+\gamma^5) \frac{1}{2}(1+\gamma^5) = \frac{1}{4} (1 + 2 \gamma^5 + (\gamma^5)^2) = \frac{1}{4}(2 + 2 \gamma^5) = \frac{1}{2} (1 + \gamma^5) = P_R \]

\[ P_L + P_ R = \frac{1}{2}(1-\gamma^5) + \frac{1}{2}(1+\gamma^5) = I \]

\[ P_L P_R = \frac{1}{2}(1-\gamma^5) \frac{1}{2}(1+\gamma^5) = \frac{1}{4} (I - \gamma^5 + \gamma^5 - (\gamma^5)^2) = 0 \]

Calculamos las proyecciones de quiralidad de los espinores de helicidad en $z$

La forma explícita de $P_L, \, P_R$ en la representación Pauli-Dirac

\[\begin{split} P_L = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I & -I \\ -I & I \end{pmatrix}, \;\;\; P_R = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I & I \\ I & I \end{pmatrix} \end{split}\]

Luego aplicada a los espinores de helicidad (en la dirección $z$)

\[\begin{split} P_L \, u_+(p) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I & -I \\ -I & I \end{pmatrix} N \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \kappa \\ 0\end{pmatrix} = \frac{N}{2} (1 - \kappa) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ P_R \, u_+(p) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I & I \\ I & I \end{pmatrix} N \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \kappa \\ 0\end{pmatrix} = \frac{N}{2} (1 + \kappa) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \end{split}\]

\[\begin{split} P_L \, u_-(p) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I & -I \\ -I & I \end{pmatrix} N \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - \kappa \end{pmatrix} = \frac{N}{2} (1 + \kappa) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \\ P_R \, u_-(p) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I & I \\ I & I \end{pmatrix} N \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -\kappa \end{pmatrix} = \frac{N}{2} (1 - \kappa) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{split}\]

En el caso de la partícula ultra relativista $\kappa \to 1$

\[ P_L u_- = u_-, \;\; P_R u_+ = u_+ \]

Mientras que:

\[ P_R u_- = 0, \;\; P_L u_+ = 0 \]

helicidad y quiralidad coinciden el caso ultra-relativista.

El operador paridad sobre los espinores es $\hat{P} = \gamma^0$, y $\hat{P}^{-1} = \gamma$, dado que $(\gamma^0)^2 = I$.

Luego

\[ \hat{P}^{-1} P_{R/L} \hat{P} = \gamma^0 \, \frac{1}{2} (1 \pm \gamma^5) \, \gamma^0 = \frac{1}{2} (1 \mp \gamma^5) \, (\gamma^0)^2 = P_{L/R} \]

ejercicio

Verifica que la corriente fermiónica se puede descomponer en dos corrientes, una con quiralidad a izquierdas y otra a derechas.

\[ \bar{\Psi} \gamma^\mu \Psi = \bar{\Psi}_L \gamma^\mu \Psi_L + \bar{\Psi}_R \gamma^\mu \Psi_R \]

Mientras que el término escalar, mezcla ambas quiralidades:

\[ \bar{\Psi} \Psi = \bar{\Psi}_L \Psi_R + \bar{\Psi}_R \Psi_L \]

solución

ejercicio

ejercicio: Indica si son posibles o no y por qué los siguientes vértices:

$e, e, \gamma$
$\nu_e, \nu_e, \gamma$
$e, e^+, \gamma$
$\nu_e, \nu_e, Z$
$e, \mu, \gamma$
$e, \nu_e, W$
$e, \tau, Z$
$e, \nu_\mu, W$
$e, e, g$
$b, b, g$
$d, s, g$
$\gamma, \gamma, \gamma$
$u, u, W$
$u, d, W$
$d, t, W$

solución

$e, e, \gamma$: Sí, interacción electromagnética
$\nu_e, \nu_e, \gamma$: No, el neutrino no interacciona con el fotón
$e, e^+, \gamma$: Sí, aniquilación
$\nu_e, \nu_e, Z$: Sí, el neutrino interacciona débil con el $Z$
$e, \mu, \gamma$: No, se produce un cambio de sabor de la partícula que no está permitido en las interaccionel electromagnéticas.
$e, \nu_e, W$: Sí, interacción débil cargada
$e, \tau, Z$: No, el $Z$ no cambia el sabor de las partículas,
$e, \nu_\mu, W$: No, el nuetrino debería ser electrónico,
$e, e, g$: No, el electrón no interacciona fuertemente
$b, b, g$: Sí, el gluón conserva el sabor e interacciona con los quarks
$d, s, g$: No, el gluón conserva el sabor
$\gamma, \gamma, \gamma$: No, los fotones no interacciona entre sí
$u, u, W$: No, el W cambia el sabor y combina un quark (o leptón) del duplete de arriba con uno de abajo
$u, d, W$: Sí, es una corriente cargada débil
$d, t, W$: Sí, es una corriente cargada débil (el $d$ está abajo en el duplete y el $t$ arriba)

ejercicio Dibuja los siguientes diagramas de Feynman.

$\tau \to \mu + \bar{\nu}_\mu + \nu_\tau$
$\tau \to e + \bar{\nu}_e + \nu_\tau$
$\mu \to e + \bar{\nu}_e + \nu_\mu$

ejercicio: Dibuja los diagramas de Feynman para los siguientes procesos:

$\tau \to \pi^- + \nu_\tau$, siendo $\pi^-$ la combinación de quarks ($d\bar{u}$)
$\pi^+ \to \mu^+ + \nu_\mu$.
$K^+ \to \mu^+ + \nu_\mu$, siendo $K^+$ la combinación ($s\bar{u}$)

ejercicio: Dibuja los diagramas árbol de las posible interacciones, e indica si son aniquilaciones o interacciones:

$e+e\to e+e$
$e+e^+ \to \mu + \mu^+$
$e + e^+ \to e + e^+$
$e + \nu_e \to e + \nu_e$
$e + \bar{\nu}_e \to e + \bar{\nu}_e$

Introducción a la Física de Partículas - USC

Boletín de problemas IV

15. Boletín de problemas IV#