Boletín de problemas II
13. Boletín de problemas II#
Jose A. Hernando
Departamento de Física de Partículas. Universidade de Santiago de Compostela
November 2024
import time
print(' Last version ', time.asctime() )
Last version Wed Dec 18 17:08:12 2024
# general imports
%matplotlib inline
%reload_ext autoreload
%autoreload 2
# numpy and matplotlib
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.constants as units
energy = lambda m, p : np.sqrt(m**2 + p**2)
momentum = lambda m, E : np.sqrt(E**2 - m**2)
gamma_lorentz = lambda m, E : m/E
beta_lorentz = lambda p, E : p/E
kinetic_energy = lambda m, E : E - m
problema 1
La vida media del \(\pi^0\) es \(\tau_{\pi} = 8.4 \, 10^{-17}\) s, ¿cuál es su anchura de desintegración?. La anchura del mesón \(\eta\) es \(\Gamma_\eta = \) 1.3 keV, ¿Cuál es su vida media? [AB.1.5]
gamma = lambda tau : units.hbar / (tau * units.eV)
tau = lambda gamma : units.hbar / (gamma * units.eV)
tau_pi = 8.4e-17 # 1/s
gamma_eta = 1.3e3 # eV
print(' Gamma pi {:e} eV'.format(gamma(tau_pi)))
print(' tau eta {:e} s'.format(tau(gamma_eta)))
Gamma pi 7.835857e+00 eV
tau eta 5.063169e-19 s
problema 2
Considera un experimento de blanco fijo \(p+p\), ¿cuál es la energía del haz de protones para que en el CM tenga la energía del LHC, \(\sqrt{s} = 14\) TeV?
[MT1.P10]
solución
En el sistema de laboratorio: \(s = (E + m_p, {\bf p})\), por lo que:
ss = (14 * 1e3) **2 ## GeV^2
ethr = (ss - 2 * mp**2)/(2*mp)
print('Energy threshold {:e} TeV'.format(ethr/1e3))
---------------------------------------------------------------------------
NameError Traceback (most recent call last)
/var/folders/56/_pmdccc97ljb_l3v3s6gkrxm0000gn/T/ipykernel_5692/1828582200.py in <module>
1 ss = (14 * 1e3) **2 ## GeV^2
----> 2 ethr = (ss - 2 * mp**2)/(2*mp)
3 print('Energy threshold {:e} TeV'.format(ethr/1e3))
NameError: name 'mp' is not defined
problema 3
Sean tres protones de \(p = 3\) GeV emitidos entre ellos \(120^o\) en un plano. ¿cuál es su masa invariante? [AB1.P2]
solución
La masa invariante de un sistema de n-partículas con cuadrimomentos \(p_i\) con \(i=1, \dots, n\) es:
En la suma de los cuadrimomentos el momento se anula y la energís es:
Luego la masa es \(3E\)
pp = 3 # GeV
mp = 0.938 # GeV
ene = energy(mp, pp)
print('mass {:4.3f} GeV '.format(3 * ene))
mass 9.430 GeV
problema 4
Considera la interacción \(\gamma + p \to p + \pi^0\). ¿Cuál es la energía mínima de los fotones para que tenga lugar la interacción si éstos golpean un blanco formado por protones en reposo? ¿Qué energía mímina deben tener los protones de los rayos cósmicos (esto es ultrarelativistas) para que la interacción tenga lugar con los fotones de 1 meV del fondo cósmico?
solución
Utilizaremos la variable de Mandelstam \(s\) es invariante Lorentz.
El caso en el que las dos partículas tienen menos energía en el CM es
En el caso en el que los protones están en reposo, en el sistema laboratorio, el invariante vale:
por lo tanto:
mp = 0.938 # GeV
mpi = 0.134 # GeV
E = ((mp + mpi)**2 - mp**2)/(2*mp)
print('E(gamma) lab {:4.3f} GeV'.format(E))
E(gamma) lab 0.144 GeV
En el caso de los protones cósmicos, ultrarelativistas, su cuadrimomento es \((E_p, E_p \hat{k})\) que golpean los fotones de cuadrimomento \((E_\gamma, E_\gamma \hat{k}')\)
El valor mínimo de \(E_p\) corresponde a \(\cos \theta = -1\), al choque frontal, luego:
mp = 0.938 # GeV
mpi = 0.134 # GeV
Egamma = 0.1e-3 * 1e-9 # meV in GeV
E = ((mp + mpi)**2)/(4*Egamma)
print('E(p) {:1.2e} GeV'.format(E))
E(p) 2.87e+12 GeV
problema 5
En un experimento de blanco fijo un haz de protones golpea un blanco, encontrar la energía del haz, \(E\), para que tenga lugar el proceso: \(p + p \to p + p + p + \bar{p}\)
El invariante \(s\) es igual en los casos:
i) inicial en el laboratorio: \(s = (E+m_p, {\bf p})^2\)
ii) final en el CM con el caso de menor energía en el que las partículas quedan en reposo: \(s = (4 m_p, {\bf 0})\)
Así:
mp = 0.938 # GeV
print('Threshold energy {:4.3f} GeV'.format(7 * mp))
Threshold energy 6.566 GeV
problema 5
Calcula la luminosidad equivalente de un haz de protones de intensidad \(10^{13}\) 1/s que golpea un tanque de 10 cm de hidrógeno líquido, \(\rho = 60 \; \mathrm{kg/m}^3\). [AB1.6]
La razón de interacción en un blanco fijo es: $\( R = \phi_a \sigma N_b \)$
donde \(\phi_a\) es el flujo, \(\sigma\), la sección eficaz, \(N_b\), el número de partículas blanco.
Y en función de la luminosidad \(\mathcal{L}\) de un colisionador: $\( R = \mathcal{L} \sigma \)$
Por lo tanto, la luminosidad equivalente en un blanco fijo es:
En este caso, dada una intensidad \(I_a\), en una seccion \(S\) tenemos un flujo:
Y en esa sección \(S\), una longitud \(L\) y densidad \(\rho\) (en \(\mathrm{kg/m}^3\)) tenemos tantos nucleones blanco:
donde \(N_A = 6.022 \, 10^{23}\) es el número de Avogadro de átomos en un mol.
Luego la luminosidad equivalente es: $\( \mathcal{L} = \phi_a N_b = I_a \rho 10^3 L N_A \)$
Ia = 1e3 # s-1
L = 0.1 # m
rho = 60e3 # g/m3
N_A = units.N_A
lumi = (Ia * rho * L * N_A)
print('Luminosidad {:1.2e} 1/(cm2 s)'.format(lumi * 1e4))
Luminosidad 3.61e+34 1/(cm2 s)
problema 7
La sección eficaz del producción del bosón de Higgs es 50 pbarn en colisiones \(p+p\) a \(\sqrt{s} = \)8 TeV, esto es a la energía en el centro de masas de la primera toma de datos del LHC. Si la fracción de desintegración del \(H \to \gamma + \gamma\) es de solo \(2.2 \times 10^{-3}\) ¿Cuántos eventos de este tipo se produjeron en un año de tomas de datos en el LHC? ¿Cuánto luminosidad integrada se precisa para observar 100 eventos de este tipo?
Datos: luminosidad del LHC \(\mathcal{L} = 10^{34}\) \(\mathrm{cm}^{-2} s^{-1}\), considera que 1 año son \(10^7\) s
solución
La razón de producción viene dada por:
En \(T = 1e7\) se se han producido
La luminosidad integrada \(\mathcal{L}_T\) para producir \(N\) eventos es:
sigma = 50e-12 * 1e-24 # cm2
B = 2.2e-3
lumi = 1e34 # 1/cm2 s
T = 1e7
N = lumi * T * sigma * B
print('Higgs -> gamma + gamma {:1.2e} producidos'.format(N))
Higgs -> gamma + gamma 1.10e+04 producidos
N = 100
LT = N/(sigma * B)
print('Integrated luminosity {:1.2f} (1/pb) '.format(LT*1e-24*1e-12))
Integrated luminosity 909.09 (1/pb)
problema 8
La sección eficaz \(e+e^+\to \tau + \tau^+\) es 1.7 nbars a \(\sqrt{s} = 91\) GeV, si la luminosidad del colisionador es \(10^{32}\) 1/ (\(\mathrm{cm}^2\) s) ¿Cuál es la razón de producción de \(\tau+\tau^+\)? Si la vida media del \(\tau\) es 0.29 ps, ¿Qué recorrido medio tendrá? En el plano transverso de la colisión ¿Qué relación guarda el momento transverso del \(\tau\) con respecto al del \(\tau^+\)?
solución
La razón de producción es:
lumi = 1e32 # 1/cm2
sigma = 1.7e-9* 1e-24 # cm2
nu = lumi * sigma
print('razón de producción {:4.3f} Hz'.format(nu))
razón de producción 0.170 Hz
La energía del tau es \(45.5\) GeV, siendo su masa \(m = 1.78\) GeV, con, \(\gamma = E/m\), y \(\beta = p/E\)
La distancia media recorrida es:
Etau = 45.5 # GeV
mtau = 1.78 # GeV
ptau = np.sqrt(Etau**2 - mtau**2)
gamma = Etau/mtau
beta = ptau/Etau
tau = 0.29e-12 # s
c = units.speed_of_light
dd = tau * beta * gamma * c
print('tau momenta {:4.3f} GeV'.format(ptau))
print('beta tau {:4.3f} '.format(beta))
print('gamma {:4.3f}'.format(gamma))
print('distance {:4.3f} mm'.format(dd *1e3))
tau momenta 45.465 GeV
beta tau 0.999
gamma 25.562
distance 2.221 mm
En el plano transverso la suma de los dos momentos se anula, luego el momento transverso del \(\tau\) es opuesto al del \(\tau^+\)