Extensión: La quiralidad

Contenido

Extensión: La quiralidad#

José A. Hernando

Departamento de Física de Partículas. Universidade de Santiago de Compostela

Octubre 2026

Introducción#

Esta extensión es el desarrollo matemático de la quiralidad, que el tema de leptones presenta en clase: la interacción débil solo ve la mano izquierda de los fermiones. Parte de lo que se construye en ext-dirac: la ecuación de Dirac, los espinores, sus transformaciones de Lorentz y las formas bilineales. Tiene nueve secciones; cada una responde a una pregunta:

La quiralidad. ¿Qué es? Los autovalores de \(\gamma^5\).
Los proyectores, la paridad y la conjugación de carga. ¿Cómo se separa un espinor en sus dos quiralidades? Con \(P_L\) y \(P_R\). La paridad las intercambia; la conjugación de carga pasa a la antipartícula, con la carga opuesta.
La base quiral. ¿En qué base se ven las dos partes por separado? La representación de Weyl.
Fermiones sin masa: los espinores de Weyl. ¿Qué pasa si \(m = 0\)? Las dos partes se desacoplan.
Fermiones con masa. ¿Qué hace la masa? Acopla las dos partes.
Rotaciones y boosts en la base quiral. ¿Cómo se transforma cada parte? Por separado: la quiralidad es invariante Lorentz.
Helicidad y quiralidad. ¿Cómo se relacionan? Coinciden sin masa; con masa, un estado de helicidad es una mezcla de las dos quiralidades.
Helicidad y quiralidad bajo transformaciones. ¿Qué cambia con el observador y qué al propagarse?
Las formas bilineales y la quiralidad. ¿Qué partes ve cada forma? El escalar (la masa) une L con R; la corriente vectorial no las mezcla, y la \(V - A\) solo ve la izquierda, en cualquier sistema de referencia.

Notación#

La de ext-dirac:

Unidades naturales, métrica \(\mathrm{diag}(1, -1, -1, -1)\), \(p^\mu = (E, {\bf p})\), \(\mathrm{p} = |{\bf p}|\), \(\beta = \mathrm{p}/E\).
\(\kappa \equiv \mathrm{p}/(E+m)\), \(N \equiv \sqrt{E+m}\). Rapidez de un boost: \(\eta\), con \(\cosh\eta = E/m\), \(\sinh\eta = \mathrm{p}/m\), y \(\kappa = \tanh\frac{\eta}{2}\).
\(\chi_+ = (1, 0)\), \(\chi_- = (0, 1)\): espín arriba y abajo en \(z\). \(u_\pm\): los espinores de helicidad con \({\bf p}\) en \(z\).
\(\gamma^5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\), con \((\gamma^5)^2 = I\), \((\gamma^5)^\dagger = \gamma^5\) y \(\{\gamma^5, \gamma^\mu\} = 0\) (ext-dirac, sección 1.7).
Las secciones 1 y 2 usan la representación de Pauli-Dirac, la de ext-dirac; a partir de la 3, la de Weyl. Se indica cuando hace falta.

1. La quiralidad#

1.1. Los autovalores de \(\gamma^5\)#

\(\gamma^5\) es hermítica y su cuadrado es la identidad. Sus autovalores son reales y su cuadrado vale \(1\): solo pueden ser \(\pm 1\). Como su traza es cero, hay dos de cada.

\[ \boxed{ \gamma^5\,\Psi_L = -\Psi_L, \qquad \gamma^5\,\Psi_R = +\Psi_R } \]

La quiralidad de un espinor es su autovalor de \(\gamma^5\): \(-1\), a izquierdas (L); \(+1\), a derechas (R). El nombre viene del griego kheir, mano: la paridad convierte una en otra, como un espejo convierte la mano izquierda en la derecha (sección 2.3).

1.2. En Pauli-Dirac#

\(\gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}\) intercambia los dos bloques del espinor, así que sus autovectores son

\[\begin{split} \Psi_L = \begin{pmatrix} \chi \\ -\chi \end{pmatrix}, \qquad \Psi_R = \begin{pmatrix} \chi \\ \chi \end{pmatrix}, \end{split}\]

con cualquier \(\chi\) de dos componentes. Un espinor cualquiera no es autoestado de \(\gamma^5\): es una mezcla de las dos quiralidades. Por ejemplo, el espinor en reposo, \(u(m) = \sqrt{2m}\,(\chi, 0)\), es mitad y mitad:

\[\begin{split} \sqrt{2m}\begin{pmatrix} \chi \\ 0 \end{pmatrix} = \sqrt{\frac{m}{2}}\begin{pmatrix} \chi \\ \chi \end{pmatrix} + \sqrt{\frac{m}{2}}\begin{pmatrix} \chi \\ -\chi \end{pmatrix} . \end{split}\]

2. Los proyectores y la paridad#

2.1. Los proyectores de quiralidad#

\[ \boxed{ P_L \equiv \frac{1}{2}(I - \gamma^5), \qquad P_R \equiv \frac{1}{2}(I + \gamma^5) } \]

Con \((\gamma^5)^2 = I\):

son proyectores complementarios: \(P_L + P_R = I\), \(P_{L,R}^2 = P_{L,R}\), \(P_L P_R = 0\);
dan los autoestados: \(\gamma^5 P_L = \frac{1}{2}(\gamma^5 - I) = -P_L\) y \(\gamma^5 P_R = +P_R\). Luego \(P_L\Psi\) es a izquierdas y \(P_R\Psi\) a derechas, sea cual sea \(\Psi\).

Cualquier espinor se separa, de una sola manera, en sus dos partes quirales:

\[ \Psi = \Psi_L + \Psi_R, \qquad \Psi_{L,R} = P_{L,R}\,\Psi . \]

En Pauli-Dirac,

\[\begin{split} P_L = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} I & -I \\ -I & I \end{pmatrix}, \qquad P_R = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} I & I \\ I & I \end{pmatrix} . \end{split}\]

2.2. La paridad en los espinores#

La paridad es la transformación de Lorentz impropia \(\Lambda = \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1)\). La condición de ext-dirac (sección 3.1), \(S^{-1}\gamma^\mu S = \Lambda^\mu{}_\nu\gamma^\nu\), pide una \(S\) que deje \(\gamma^0\) igual y cambie el signo de las \(\gamma^k\). \(S = \gamma^0\) lo cumple: \(\gamma^0\gamma^0\gamma^0 = \gamma^0\) y \(\gamma^0\gamma^k\gamma^0 = -\gamma^k\). Así,

\[ \boxed{ \Psi(t, {\bf x}) \;\to\; \gamma^0\,\Psi(t, -{\bf x}), \qquad \bar\Psi \;\to\; \bar\Psi\,\gamma^0 } \]

Las formas bilineales bajo paridad. Con \(\gamma^0\gamma^5\gamma^0 = -\gamma^5\) (porque \(\gamma^5\) anticonmuta con \(\gamma^0\)):

forma	\(\to\)	bajo paridad
\(\bar\Psi\Psi\)	\(\bar\Psi\gamma^0\gamma^0\Psi = \bar\Psi\Psi\)	escalar
\(\bar\Psi\gamma^5\Psi\)	\(\bar\Psi\gamma^0\gamma^5\gamma^0\Psi = -\bar\Psi\gamma^5\Psi\)	pseudoescalar
\(\bar\Psi\gamma^\mu\Psi\)	\((j^0, {\bf j}) \to (j^0, -{\bf j})\)	vector
\(\bar\Psi\gamma^\mu\gamma^5\Psi\)	\((j^0_A, {\bf j}_A) \to (-j^0_A, +{\bf j}_A)\)	axial

(para el axial, \(\gamma^0\gamma^\mu\gamma^5\gamma^0 = (\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0)(\gamma^0\gamma^5\gamma^0) = -\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0\,\gamma^5\)). Son las columnas de «bajo paridad» de perspectivas y de leptones.

2.3. La paridad intercambia las quiralidades#

Como \(\gamma^0\) anticonmuta con \(\gamma^5\), \(\gamma^0 P_L = P_R\,\gamma^0\), y

\[ \gamma^0\,\Psi_L = \gamma^0 P_L\Psi = P_R\,(\gamma^0\Psi) : \]

la parte izquierda de \(\Psi\) se convierte en la parte derecha del espinor transformado, y al revés: \(\Psi_L \leftrightarrow \Psi_R\).

La paridad no conserva la quiralidad: la invierte. Del transformado de \(\Psi_L\) no queda nada a izquierdas, \(P_L(\gamma^0\Psi_L) = \gamma^0 P_R P_L\Psi = 0\).
Solo cuenta \(\gamma^0\). El cambio \({\bf x} \to -{\bf x}\) actúa sobre el argumento, no sobre las componentes del espinor; y la fase global que puede acompañar a la paridad, \(\Psi \to \eta_P\,\gamma^0\Psi(t, -{\bf x})\) con \(|\eta_P| = 1\), tampoco cambia el autovalor de \(\gamma^5\).
Una teoría que trate distinto las dos quiralidades viola la paridad. Es lo que hace la interacción débil: la imagen especular de un \(\nu_L\) sería un \(\nu_R\), que no está en el Modelo Estándar.

2.4. La conjugación de carga#

La conjugación de carga, \(C\), cambia la partícula por su antipartícula: la misma masa, el mismo momento y el mismo espín, y las cargas opuestas. No toca \((t, {\bf x})\). Sobre la solución de Dirac actúa con un complejo conjugado, que invierte la fase, y una matriz:

\[ \boxed{ \Psi \;\to\; \Psi^c = i\gamma^2\,\Psi^* } \]

(en Pauli-Dirac y en Weyl, donde \(\gamma^2\) es la única matriz imaginaria).

La carga opuesta. Partimos de la ecuación con el fotón de ext-dirac (sección 5.2), \([\gamma^\mu(i\partial_\mu - qA_\mu) - m]\,\Psi = 0\). Su compleja conjugada (\(A_\mu\) es real) es

\[ [(\gamma^\mu)^*(-i\partial_\mu - qA_\mu) - m]\,\Psi^* = 0 . \]

Multiplicamos por \(i\gamma^2\) por la izquierda. Si \(\mu \neq 2\), \(\gamma^\mu\) es real y anticonmuta con \(\gamma^2\); si \(\mu = 2\), \((\gamma^2)^* = -\gamma^2\). En los dos casos \(i\gamma^2(\gamma^\mu)^* = -\gamma^\mu\,i\gamma^2\), y

\[ \boxed{ [\gamma^\mu(i\partial_\mu + qA_\mu) - m]\,\Psi^c = 0 } \]

Es la ecuación de Dirac con la misma masa y la carga cambiada, \(q \to -q\): \(\Psi^c\) describe la antipartícula. Con una onda plana, \(\Psi = u_s\,e^{-ipx}\) da \(\Psi^c = (i\gamma^2 u_s^*)\,e^{+ipx}\), la fase de la antipartícula con el mismo \(p\); y con los espinores de ext-dirac (sección 2.4), \(i\gamma^2 u_1^* = v_1\), con el mismo espín físico (cuestión 9). \(C\) conserva el momento y el espín, y por tanto la helicidad. [MT4.7.5]

\(C\) y la quiralidad. \(\gamma^5\) es real y anticonmuta con \(\gamma^2\), así que \(i\gamma^2 P_L^* = i\gamma^2 P_L = P_R\,i\gamma^2\), y

\[ (\Psi_L)^c = i\gamma^2 (P_L\Psi)^* = P_R\,\Psi^c : \]

como la paridad, \(C\) cambia el signo del autovalor de \(\gamma^5\). Pero, a diferencia de la paridad, no toca la helicidad: un fermión sin masa de helicidad negativa pasa a un antifermión de helicidad negativa. En los espinores de las antipartículas, la quiralidad física es, por tanto, la opuesta al autovalor de \(\gamma^5\) (sección 2.5).

El neutrino. Con las dos transformaciones:

\(P\): \(\nu_L \to \nu_R\) (sección 2.3), que no está en el Modelo Estándar.
\(C\): \(\nu_L \to \bar\nu_L\), que tampoco: la interacción débil viola \(C\) de forma máxima.
\(CP\): \(\nu_L \to \bar\nu_R\), que sí existe. Es la tabla del neutrino de leptones. [MT13.5.2]

[+] Mirador. En QFT, \(C\) es un operador sobre los estados que cambia cada partícula por su antipartícula, y sobre el campo actúa con la misma \(i\gamma^2\); la carga opuesta sale directamente de la corriente, sin regla práctica. La interacción electromagnética y la fuerte conservan \(C\) y \(P\) por separado; la débil, no.

2.5. La quiralidad de las antipartículas#

Para los espinores \(v\), los operadores dan el valor físico con el signo cambiado (ext-dirac, sección 2.6), y la quiralidad no es una excepción: \(C\) conserva la helicidad pero cambia el autovalor de \(\gamma^5\) (sección 2.4). El antifermión a derechas es

\[ v_R = P_L\,v = \frac{1}{2}(I - \gamma^5)\,v . \]

Por qué es la definición correcta. Sin masa, la quiralidad de una partícula coincide con su helicidad. \(C\) conserva la helicidad y cambia el signo de \(\gamma^5\), \(i\gamma^2\,\gamma^{5*}\,(i\gamma^2)^{-1} = -\gamma^5\) (sección 2.4). Para que, sin masa, quiralidad y helicidad coincidan también en las antipartículas, la quiralidad física de un espinor \(v\) tiene que ser el opuesto del autovalor de \(\gamma^5\). No es un convenio: es lo que hace que la quiralidad sea la misma propiedad para la materia y para la antimateria. Ejemplo: con \(\kappa \to 1\), \(v_1\) tiene helicidad \(+\) y \(\gamma^5 v_1 = -v_1\): es un antifermión a derechas, \(v_1 = P_L v_1\) (cuestión 9).

Por eso el mismo \(P_L\) del vértice \(V - A\) selecciona los fermiones a izquierdas y los antifermiones a derechas, y la corriente del neutrino solo contiene \(\nu_L\) y \(\bar\nu_R\). [MT6.4]

[+] Mirador — El signo menos, en la teoría de campos

En QFT el campo es un operador que destruye partículas y crea antipartículas, todas de energía positiva:

\[ \psi(x) = \sum_{{\bf p}, s}\left[\, b_s\,u_s\,e^{-ip\cdot x} + d_s^\dagger\,v_s\,e^{+ip\cdot x} \,\right] . \]

La energía, el momento, la carga o la quiralidad totales son sumas del tipo \(\int\psi^\dagger\hat O\,\psi\). Su parte de antipartículas lleva el valor \(\lambda_v\) de \(\hat O\) sobre \(v\,e^{+ip\cdot x}\) multiplicado por \(d\,d^\dagger\). Los fermiones anticonmutan, \(d\,d^\dagger = 1 - d^\dagger d\), así que cada antipartícula aporta \(-\lambda_v\): el signo menos de la regla práctica es el de la estadística de Fermi. Sin él, las antipartículas tendrían energía negativa. Y como \(\psi_L = P_L\psi\) contiene \(b\,P_L u\) y \(d^\dagger P_L v\), el campo a izquierdas destruye partículas L y crea antipartículas R. [PS3.5]

3. La base quiral#

3.1. La representación de Weyl#

En Pauli-Dirac \(\gamma^5\) no es diagonal. Cambiando de base con la matriz unitaria

\[\begin{split} U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} I & -I \\ I & I \end{pmatrix}, \qquad \Psi_{W} = U\,\Psi_{PD}, \qquad \gamma^\mu_{W} = U\,\gamma^\mu_{PD}\,U^\dagger , \end{split}\]

se obtiene la representación de Weyl, o quiral:

\[\begin{split} \boxed{ \gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}, \qquad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_k \\ -\sigma_k & 0 \end{pmatrix}, \qquad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix} } \end{split}\]

y \(P_L = \mathrm{diag}(I, 0)\), \(P_R = \mathrm{diag}(0, I)\). Cumple la misma álgebra, \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu}I\): la física no cambia (ext-dirac, sección 1.5).

3.2. El espinor, partido en dos#

En la base quiral, las dos componentes de arriba son la parte L y las dos de abajo la parte R:

\[\begin{split} \Psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}, \qquad \psi_L = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_a - \psi_b), \quad \psi_R = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_a + \psi_b), \end{split}\]

con \(\psi_a\), \(\psi_b\) los bloques de arriba y de abajo en Pauli-Dirac. Cada parte es un objeto de dos componentes.

La paridad, \(\gamma^0\), intercambia los dos bloques: \((\psi_L, \psi_R) \to (\psi_R, \psi_L)\).
El espín, \(\Sigma_k = \mathrm{diag}(\sigma_k, \sigma_k)\), es el mismo en las dos bases, y actúa igual sobre las dos partes.
El adjunto, \(\bar\Psi = \Psi^\dagger\gamma^0 = (\psi_R^\dagger, \psi_L^\dagger)\), cruza los bloques.

4. Fermiones sin masa: los espinores de Weyl#

4.1. La ecuación de Dirac en la base quiral#

Con \(\not{p} = \gamma^0 E - \gamma^k p^k = \begin{pmatrix} 0 & E - \vec\sigma\cdot{\bf p} \\ E + \vec\sigma\cdot{\bf p} & 0 \end{pmatrix}\), la ecuación \((\not{p} - m)\,u = 0\) queda

\[\begin{split} \begin{pmatrix} -m & E - \vec\sigma\cdot{\bf p} \\ E + \vec\sigma\cdot{\bf p} & -m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_L \\ u_R \end{pmatrix} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{cases} (E + \vec\sigma\cdot{\bf p})\,u_L = m\,u_R \\ (E - \vec\sigma\cdot{\bf p})\,u_R = m\,u_L \end{cases} \end{split}\]

La masa es lo único que acopla \(u_L\) con \(u_R\).

4.2. Sin masa, las dos partes se separan#

\[ (E + \vec\sigma\cdot{\bf p})\,u_L = 0, \qquad (E - \vec\sigma\cdot{\bf p})\,u_R = 0 : \]

son las ecuaciones de Weyl (1929). Con \(E = \mathrm{p}\) y \({\bf p} = \mathrm{p}\,\hat{\bf v}\):

\[ (\hat{\bf v}\cdot\vec\sigma)\,u_L = -u_L, \qquad (\hat{\bf v}\cdot\vec\sigma)\,u_R = +u_R . \]

Sin masa, la parte L tiene helicidad negativa y la R positiva. Y son dos partículas independientes, de dos componentes cada una: se puede tener una sin la otra. Es el neutrino del Modelo Estándar, que solo tiene \(u_L\) (y su antipartícula, \(\bar\nu_R\)).

[+] Mirador. Weyl propuso su ecuación en 1929, y Pauli la descartó porque viola la paridad. Tras el experimento de Wu (1957) resultó ser la del neutrino.

5. Fermiones con masa#

5.1. Las soluciones#

Con masa, las dos ecuaciones de la sección 4.1 van juntas: dada \(u_L\), \(u_R = (E + \vec\sigma\cdot{\bf p})\,u_L/m\). Con \({\bf p}\) en \(z\) y \(\sigma_3\chi_\pm = \pm\chi_\pm\), normalizados a \(u^\dagger u = 2E\):

\[\begin{split} \boxed{ u_\pm = \begin{pmatrix} \sqrt{E \mp \mathrm{p}}\;\chi_\pm \\ \sqrt{E \pm \mathrm{p}}\;\chi_\pm \end{pmatrix} } \end{split}\]

(con \(\sqrt{E - \mathrm{p}}\sqrt{E + \mathrm{p}} = m\)). Las dos partes están siempre presentes. En reposo, \(\mathrm{p} = 0\), pesan lo mismo: \(u = \sqrt{m}\,(\chi, \chi)\). Al aumentar la energía, en \(u_+\) crece la parte R y en \(u_-\) la L.

5.2. El término de masa#

Con \(\bar\Psi = (\psi_R^\dagger, \psi_L^\dagger)\),

\[ \bar\Psi\Psi = \psi_R^\dagger\psi_L + \psi_L^\dagger\psi_R = \bar\Psi_R\Psi_L + \bar\Psi_L\Psi_R : \]

el término de masa del lagrangiano, \(m\bar\Psi\Psi\), acopla la izquierda con la derecha. Un fermión con masa (de Dirac) necesita las dos partes.

5.3. La quiralidad no se conserva al propagarse#

El hamiltoniano de Dirac, \(H = \vec\alpha\cdot{\bf p} + \beta m\), con \(\alpha^k = \gamma^0\gamma^k\) y \(\beta = \gamma^0\), en la base quiral es

\[\begin{split} H = \begin{pmatrix} -\vec\sigma\cdot{\bf p} & m \\ m & \vec\sigma\cdot{\bf p} \end{pmatrix} : \end{split}\]

el término cinético es diagonal (no mezcla) y la masa está fuera de la diagonal. En general, \(\gamma^5\) conmuta con \(\alpha^k\) (anticonmuta con cada factor) y anticonmuta con \(\beta\):

\[ [\gamma^5, H] = 2m\,\gamma^5\gamma^0 \neq 0 . \]

Con masa, la quiralidad no se conserva: un espinor que empieza siendo L desarrolla parte R al evolucionar. Sin masa, sí se conserva.

6. Rotaciones y boosts en la base quiral#

6.1. Las dos partes se transforman por separado#

En ext-dirac (secciones 3.2–3.6), los generadores son el espín, \(\frac{1}{2}\Sigma_k\), para las rotaciones, y \(\frac{1}{2}\gamma^0\gamma^k\) para los boosts. En la base quiral, \(\Sigma_k = \mathrm{diag}(\sigma_k, \sigma_k)\) y \(\gamma^0\gamma^k = \mathrm{diag}(-\sigma_k, \sigma_k)\): los dos son diagonales por bloques, y por tanto también \(S(\Lambda)\):

\[\begin{split} \boxed{ S = \begin{pmatrix} S_L & 0 \\ 0 & S_R \end{pmatrix}, \qquad \begin{aligned} &\text{rotación } \theta\,\hat{\bf n}: && S_L = S_R = e^{-i\,\theta\,\hat{\bf n}\cdot\vec\sigma/2} \\ &\textit{boost } \eta\,\hat{\bf n}: && S_L = e^{-\eta\,\hat{\bf n}\cdot\vec\sigma/2}, \quad S_R = e^{+\eta\,\hat{\bf n}\cdot\vec\sigma/2} \end{aligned} } \end{split}\]

Ninguna transformación de Lorentz mezcla L con R: \(\psi_L \to S_L\,\psi_L\) y \(\psi_R \to S_R\,\psi_R\). Un espinor puramente L es puramente L para cualquier observador. La quiralidad es invariante Lorentz (equivalente a \([\gamma^5, S] = 0\), ext-dirac, sección 3.2).
Las dos partes son dos representaciones distintas del grupo de Lorentz: se transforman igual bajo rotaciones, pero con el boost opuesto. Solo la paridad las une (sección 2.3).
Rotaciones: la misma matriz unitaria en las dos partes: la proporción entre L y R no cambia.
Boosts: no son unitarios y tienen exponentes opuestos: reescalan las dos partes de forma distinta. La proporción cambia, pero lo L sigue siendo L.

6.2. Ejemplo: el espinor en movimiento, sin resolver la ecuación#

El espinor en reposo con espín arriba es \(u(m) = \sqrt{m}\,(\chi_+, \chi_+)\). Un boost de rapidez \(\eta\) en \(z\) actúa sobre \(\chi_+\), con \(\sigma_3 = +1\):

\[\begin{split} S\,u(m) = \sqrt{m}\begin{pmatrix} e^{-\eta/2}\,\chi_+ \\ e^{+\eta/2}\,\chi_+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{E - \mathrm{p}}\;\chi_+ \\ \sqrt{E + \mathrm{p}}\;\chi_+ \end{pmatrix} = u_+ , \end{split}\]

porque \(m\,e^{\mp\eta} = m(\cosh\eta \mp \sinh\eta) = E \mp \mathrm{p}\). Es la solución de la sección 5.1. El boost no cambia la dirección de ninguna de las dos partes: solo multiplica la L por \(e^{-\eta/2}\) y la R por \(e^{+\eta/2}\).

7. Helicidad y quiralidad#

7.1. Un estado de helicidad, en sus dos quiralidades#

De la sección 5.1, con \(|u|^2 = 2E\), la fracción de cada quiralidad en un estado de helicidad es

helicidad \(\downarrow\) \ quiralidad \(\rightarrow\)	R	L
\(+\)	\(\frac{E + \mathrm{p}}{2E} = \frac{1}{2}(1 + \beta)\)	\(\frac{E - \mathrm{p}}{2E} = \frac{1}{2}(1 - \beta)\)
\(-\)	\(\frac{1}{2}(1 - \beta)\)	\(\frac{1}{2}(1 + \beta)\)

En reposo, \(\beta = 0\): mitad y mitad.
Sin masa, \(\beta = 1\): \(u_+\) es puramente R y \(u_-\) puramente L. Helicidad y quiralidad coinciden.
Con \(E \gg m\): la fracción «equivocada», \(|P_L u_+|^2/|u_+|^2 = \frac{1}{2}(1 - \beta) \simeq m^2/4E^2\), es pequeña. La componente misma (su raíz, la amplitud) va como \(m/2E\). La amplitud es la que entra en \(M_{fi}\); la fracción, en las tasas.

7.2. En Pauli-Dirac#

Es lo mismo escrito en la otra base. Con \(u_+ = N(1, 0, \kappa, 0)\) y \(u_- = N(0, 1, 0, -\kappa)\):

\[ P_R\,u_+ = \tfrac{1}{2}(1+\kappa)\,N\,(1, 0, 1, 0), \qquad P_L\,u_+ = \tfrac{1}{2}(1-\kappa)\,N\,(1, 0, -1, 0), \]

\[ P_R\,u_- = \tfrac{1}{2}(1-\kappa)\,N\,(0, 1, 0, 1), \qquad P_L\,u_- = \tfrac{1}{2}(1+\kappa)\,N\,(0, 1, 0, -1) . \]

Las amplitudes \(\frac{1}{2}(1 \pm \kappa)\) son las que usa el tema de leptones; sus cuadrados, por la norma de los vectores, \(2N^2\cdot\frac{1}{4}(1 \pm \kappa)^2 = E \pm \mathrm{p}\), dan las fracciones de la tabla de arriba. En la desintegración a dos cuerpos \(\pi \to l\,\nu\), con \(E_l\) y \(\mathrm{p}_l\) del CM (ext-cinematica, sección 4.3), \(\kappa = (m_\pi - m_l)/(m_\pi + m_l)\) y \(\frac{1}{2}(1 - \kappa) = m_l/(m_\pi + m_l)\): la supresión por helicidad de leptones.

8. Helicidad y quiralidad bajo transformaciones#

8.1. Cada una tiene una virtud y un defecto#

	helicidad, \(\vec\Sigma\cdot\hat{\bf p}\)	quiralidad, \(\gamma^5\)
¿se conserva al propagarse? (conmuta con \(H\))	sí	no, si hay masa (sección 5.3)
¿es la misma para todo observador? (conmuta con \(S(\Lambda)\))	no, si hay masa	sí (sección 6.1)
¿la tiene definida una partícula libre con masa?	sí	no: lleva las dos partes
sin masa	se conserva, es invariante y coincide con la quiralidad	ídem

La helicidad depende del observador si hay masa: un observador que adelanta a la partícula la ve moverse hacia atrás, con el espín igual, y su helicidad cambia de signo. Sin masa no se la puede adelantar.

La quiralidad no depende del observador, pero una partícula con masa no la tiene definida. Lo que es igual para todos los observadores es la separación del espinor en sus dos partes: la parte L para uno es la parte L para cualquier otro. Lo que cambia es cuánto pesa cada parte.

8.2. Ejemplo: adelantar a la partícula#

Tomemos \(u_+\), con rapidez \(\vartheta\) en \(z\). Sus dos partes están en la proporción (sección 6.2)

\[ \frac{\text{amplitud R}}{\text{amplitud L}} = \sqrt{\frac{E + \mathrm{p}}{E - \mathrm{p}}} = e^{\vartheta} . \]

Un boost de rapidez \(\eta\) en \(z\) multiplica la R por \(e^{\eta/2}\) y la L por \(e^{-\eta/2}\): la proporción pasa a \(e^{\vartheta + \eta}\).

\(\eta = -\vartheta\), el sistema en reposo: mitad y mitad.
\(\eta = -2\vartheta\), el observador que la adelanta: la proporción es \(e^{-\vartheta}\), domina la parte L. La partícula se mueve hacia \(-z\) con el espín hacia \(+z\): helicidad negativa. Es el mismo estado, visto por otro observador.

Ninguna parte ha cambiado de quiralidad; ha cambiado su peso. Por eso la interacción débil se escribe con la quiralidad: el \(W\) se acopla a la parte L, y todos los observadores están de acuerdo en cuál es.

9. Las formas bilineales y la quiralidad#

9.1. Los adjuntos de las partes quirales#

Para separar las formas bilineales hacen falta los adjuntos de \(\Psi_L\) y \(\Psi_R\). Como \(\gamma^5\) es hermítica y anticonmuta con \(\gamma^0\), \(P_L\gamma^0 = \gamma^0 P_R\):

\[ \bar\Psi_L \equiv (P_L\Psi)^\dagger\gamma^0 = \Psi^\dagger P_L\gamma^0 = \Psi^\dagger\gamma^0 P_R = \bar\Psi\,P_R, \qquad \bar\Psi_R = \bar\Psi\,P_L . \]

El adjunto cambia el proyector. Y como \(\gamma^5\) anticonmuta con \(\gamma^\mu\), al pasar un proyector a través de una \(\gamma^\mu\) también cambia: \(P_R\gamma^\mu = \gamma^\mu P_L\). Con estas dos reglas, y \(P_L P_R = 0\), sale todo lo demás.

9.2. El escalar y el pseudoescalar mezclan las quiralidades#

Escribiendo \(\Psi = \Psi_L + \Psi_R\) y \(\bar\Psi = \bar\Psi_L + \bar\Psi_R\), los términos con la misma quiralidad se anulan:

\[ \bar\Psi_L\Psi_L = \bar\Psi P_R\,P_L\Psi = 0, \qquad \bar\Psi_R\Psi_R = \bar\Psi P_L\,P_R\Psi = 0 , \]

y solo sobreviven los cruzados:

\[ \boxed{ \bar\Psi\Psi = \bar\Psi_L\Psi_R + \bar\Psi_R\Psi_L } \qquad \bar\Psi\gamma^5\Psi = \bar\Psi_L\Psi_R - \bar\Psi_R\Psi_L . \]

El escalar une la izquierda con la derecha. Es el término de masa, \(m\bar\Psi\Psi\) (sección 5.2).

9.3. El vector y el axial no las mezclan#

Ahora son los cruzados los que se anulan, porque la \(\gamma^\mu\) cambia el proyector:

\[ \bar\Psi_L\gamma^\mu\Psi_R = \bar\Psi P_R\,\gamma^\mu P_R\Psi = \bar\Psi\gamma^\mu P_L P_R\Psi = 0 , \]

y lo mismo \(\bar\Psi_R\gamma^\mu\Psi_L\). Sobreviven los de la misma quiralidad:

\[ \boxed{ \bar\Psi\gamma^\mu\Psi = \bar\Psi_L\gamma^\mu\Psi_L + \bar\Psi_R\gamma^\mu\Psi_R } \qquad \bar\Psi\gamma^\mu\gamma^5\Psi = -\bar\Psi_L\gamma^\mu\Psi_L + \bar\Psi_R\gamma^\mu\Psi_R \]

(en el axial, \(\gamma^5\Psi_L = -\Psi_L\) y \(\gamma^5\Psi_R = +\Psi_R\)). Restando:

\[ \boxed{ \bar\Psi\gamma^\mu\,\frac{1}{2}(1 - \gamma^5)\,\Psi = \frac{1}{2}\left(V^\mu - A^\mu\right) = \bar\Psi_L\gamma^\mu\Psi_L } \]

La regla: un número par de matrices \(\gamma\) (S, P y también el tensor, \(\sigma^{\mu\nu}\)) une L con R; un número impar (V, A) une L con L y R con R.

forma	en partes quirales
\(\bar\Psi\Psi\)	\(\bar\Psi_L\Psi_R + \bar\Psi_R\Psi_L\)	mezcla L y R
\(\bar\Psi\gamma^5\Psi\)	\(\bar\Psi_L\Psi_R - \bar\Psi_R\Psi_L\)	mezcla
\(\bar\Psi\gamma^\mu\Psi\)	\(\bar\Psi_L\gamma^\mu\Psi_L + \bar\Psi_R\gamma^\mu\Psi_R\)	no mezcla; L y R por igual
\(\bar\Psi\gamma^\mu\gamma^5\Psi\)	\(-\bar\Psi_L\gamma^\mu\Psi_L + \bar\Psi_R\gamma^\mu\Psi_R\)	no mezcla; L y R con signo opuesto
\(\frac{1}{2}(V - A)\)	\(\bar\Psi_L\gamma^\mu\Psi_L\)	solo L

9.4. En la base quiral#

Con \(\Psi = (\psi_L, \psi_R)\) y \(\bar\Psi = (\psi_R^\dagger, \psi_L^\dagger)\) (sección 3.2), todo es explícito. Con \(\gamma^0\gamma^0 = I\) y \(\gamma^0\gamma^k = \mathrm{diag}(-\sigma_k, \sigma_k)\), y llamando \(\sigma^\mu = (I, \vec\sigma)\) y \(\bar\sigma^\mu = (I, -\vec\sigma)\):

\[ \bar\Psi\Psi = \psi_R^\dagger\,\psi_L + \psi_L^\dagger\,\psi_R, \qquad \bar\Psi\gamma^\mu\Psi = \psi_L^\dagger\,\bar\sigma^\mu\,\psi_L + \psi_R^\dagger\,\sigma^\mu\,\psi_R . \]

El escalar está fuera de la diagonal: une los bloques de arriba y de abajo. La corriente es diagonal: cada parte con la suya, y cada una con su propia matriz, \(\bar\sigma^\mu\) o \(\sigma^\mu\) (por eso las dos partes son representaciones distintas, sección 6.1). La corriente \(V - A\) es \(\psi_L^\dagger\bar\sigma^\mu\psi_L\): solo necesita el objeto de dos componentes \(\psi_L\).

9.5. Qué significa#

Las interacciones vectoriales, la electromagnética y la fuerte, acoplan la izquierda y la derecha por igual y por separado: no distinguen las manos, y conservan la paridad.
La corriente cargada de la débil, \(V - A\), solo acopla la izquierda: la parte derecha no participa.
Sin masa, la quiralidad se conserva en el vértice: un electrón que entra L sale L, sea el vértice del fotón o del \(W\). Como sin masa la quiralidad es la helicidad, a alta energía la helicidad se conserva en los vértices vectoriales.
La masa es lo único que une las dos partes. Un fermión con solo la parte L, como el neutrino del Modelo Estándar, no puede tener un término \(m\bar\Psi\Psi\): no tiene masa de Dirac.

[+] Mirador. En el Modelo Estándar, \(e_L\) y \(e_R\) son objetos distintos para la interacción débil: \(e_L\) va con \(\nu_L\) y \(e_R\) va solo. Un término \(m\,\bar e_L e_R\) mezclaría dos objetos que la débil trata distinto, y no está permitido. La masa del electrón la da su acoplo con el campo de Higgs (tema del Modelo Estándar).

9.6. ¿Es la misma en todos los sistemas inerciales?#

La corriente cargada une dos campos distintos, por ejemplo el electrón y su neutrino:

\[ j^\mu = \bar e\,\gamma^\mu\,\frac{1}{2}(1 - \gamma^5)\,\nu = \bar e_L\,\gamma^\mu\,\nu_L . \]

Con una transformación de Lorentz, \(\nu \to S\nu\), \(\bar e \to \bar e\,S^{-1}\), y como \(P_L\) conmuta con \(S\):

\[ j'^\mu = \bar e\,S^{-1}\gamma^\mu P_L\,S\,\nu = \bar e\,(S^{-1}\gamma^\mu S)\,P_L\,\nu = \Lambda^\mu{}_\nu\;\bar e\,\gamma^\nu P_L\,\nu . \]

Su forma es la misma en todos los sistemas inerciales: sigue siendo una corriente entre partes L, \(\bar e_L\gamma^\mu\nu_L\). Ningún observador ve intervenir la parte R.
Su valor no: es un cuadrivector, y sus componentes cambian como las de cualquier cuadrivector. Lo que es igual para todos es su contracción con otro cuadrivector, \(j^\mu W_\mu\) o \(j_{lep}\cdot j_{had}\): un escalar, y con él \(M_{fi}\).
Con la paridad, en cambio, la forma cambia: \(\gamma^0\) lleva \(P_L\) a \(P_R\) (sección 2.3), y la corriente se convierte en \(\bar e_R\gamma^\mu\nu_R\), que no aparece en la teoría. Es la violación de la paridad.

Cuestiones:

Comprueba que \(U\) (sección 3.1) es unitaria y que \(U\gamma^5_{PD}U^\dagger = \mathrm{diag}(-I, I)\) y \(U\gamma^0_{PD}U^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}\).
Comprueba \(\gamma^0\gamma^\mu\gamma^5\gamma^0\) para \(\mu = 0\) y \(\mu = 3\), y deduce cómo se transforma la corriente axial bajo paridad.
Calcula \(P_R u_-\) y \(P_L u_-\) con las matrices de Pauli-Dirac.
Comprueba que las matrices de Weyl cumplen \(\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu} I\).
Deduce \(u_\pm\) de la sección 5.1 a partir de las ecuaciones de la 4.1. ¿Qué componentes sobreviven si \(m = 0\)?
Comprueba que \(\gamma^5\) no conmuta con \(H = \vec\alpha\cdot{\bf p} + \beta m\), salvo si \(m = 0\), y escribe \(H\) en la base quiral.
Un boost no convierte L en R, pero cambia la proporción. Toma \(u_+\) en Pauli-Dirac, con \({\bf p}\) en \(z\) y rapidez \(\eta\), y las direcciones quirales \(e_R = (1, 0, 1, 0)\), \(e_L = (1, 0, -1, 0)\).

a) Escribe \(u_+ = c_R\,e_R + c_L\,e_L\) y comprueba que \(c_R/c_L = e^{\eta}\).

b) Aplica \(S(\eta'\,\hat z)\) de ext-dirac (sección 3.5) a \(e_R\) y a \(e_L\). ¿Qué les pasa?

c) ¿Qué cociente tiene \(S(\eta'\,\hat z)\,u_+\)? ¿Qué espinor es?

d) Toma \(\eta' = -2\eta\), el observador que adelanta a la partícula. ¿Hacia dónde se mueve, qué helicidad tiene y qué parte pesa más? ¿Ha cambiado de quiralidad alguna de las dos partes?
Comprueba la tabla de la sección 9.3 para \(\bar\Psi\gamma^\mu\gamma^5\Psi\) y deduce que \(\frac{1}{2}(V - A)\) solo contiene la parte L.
Con los espinores de ext-dirac (sección 2.4), comprueba que \(i\gamma^2 u_1^* = v_1\) y \(i\gamma^2 u_2^* = -v_2\). ¿Qué espín físico tienen \(u_1\) y \(v_1\)? En el límite \(\kappa \to 1\), ¿qué autovalor de \(\gamma^5\) tiene cada uno?
Comprueba que \((\Psi^c)^c = \Psi\).

Soluciones

\(U U^\dagger = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} I & -I \\ I & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & I \\ -I & I \end{pmatrix} = I\). \(U\gamma^5_{PD} = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} -I & I \\ I & I \end{pmatrix}\), y por \(U^\dagger\) da \(\mathrm{diag}(-I, I)\). \(U\gamma^0_{PD} = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} I & I \\ I & -I \end{pmatrix}\), y por \(U^\dagger\) da \(\begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}\).
Con \(\gamma^5\gamma^0 = -\gamma^0\gamma^5\): \(\mu = 0\), \(\gamma^0\gamma^0\gamma^5\gamma^0 = \gamma^5\gamma^0 = -\gamma^0\gamma^5\); \(\mu = 3\), \(\gamma^0\gamma^3\gamma^5\gamma^0 = -\gamma^0\gamma^3\gamma^0\gamma^5 = \gamma^3\gamma^5\). La parte temporal de la corriente axial cambia de signo y la espacial no: \((j^0_A, {\bf j}_A) \to (-j^0_A, {\bf j}_A)\), como un momento angular.
\(P_R u_- = \frac{1}{2}(1 - \kappa)\,N\,(0, 1, 0, 1)\) y \(P_L u_- = \frac{1}{2}(1 + \kappa)\,N\,(0, 1, 0, -1)\): \(u_-\) es sobre todo L.
\((\gamma^0)^2 = I\); \((\gamma^k)^2 = \mathrm{diag}(-\sigma_k^2, -\sigma_k^2) = -I\); \(\gamma^0\gamma^k = \mathrm{diag}(-\sigma_k, \sigma_k)\) y \(\gamma^k\gamma^0 = \mathrm{diag}(\sigma_k, -\sigma_k)\), que suman cero; y \(\{\gamma^i, \gamma^j\} = -\mathrm{diag}(\{\sigma_i, \sigma_j\}, \{\sigma_i, \sigma_j\}) = -2\delta_{ij} I\).
De la primera, \((E + \vec\sigma\cdot{\bf p})\,u_L = m\,u_R\). Con \({\bf p}\) en \(z\) y \(u_L = a\,\chi_\pm\), \(u_R = b\,\chi_\pm\): \((E \pm \mathrm{p})\,a = m\,b\). Con \(a = \sqrt{E \mp \mathrm{p}}\) sale \(b = \sqrt{E \pm \mathrm{p}}\), porque \((E + \mathrm{p})(E - \mathrm{p}) = m^2\); y \(|a|^2 + |b|^2 = 2E\). Con \(m = 0\), \(E = \mathrm{p}\): \(u_+ = \sqrt{2E}\,(0, 0, 1, 0)\) es solo R, y \(u_- = \sqrt{2E}\,(0, 1, 0, 0)\) solo L.
\(\gamma^5\) anticonmuta con cada \(\gamma^\mu\), así que conmuta con \(\alpha^k = \gamma^0\gamma^k\), pero anticonmuta con \(\beta = \gamma^0\): \([\gamma^5, H] = m(\gamma^5\gamma^0 - \gamma^0\gamma^5) = 2m\,\gamma^5\gamma^0\). En la base quiral, \(\alpha^k = \mathrm{diag}(-\sigma_k, \sigma_k)\) y \(\beta = \gamma^0\), y sale la matriz de la sección 5.3.
a) \(u_+ = N(1, 0, \kappa, 0) = \frac{1}{2}(1+\kappa)N\,e_R + \frac{1}{2}(1-\kappa)N\,e_L\), y \(c_R/c_L = (1+\kappa)/(1-\kappa) = (1 + \tanh\frac{\eta}{2})/(1 - \tanh\frac{\eta}{2}) = e^{\eta}\).

b) \(\gamma^0\gamma^3\,e_R = e_R\) y \(\gamma^0\gamma^3\,e_L = -e_L\), así que \(S(\eta'\,\hat z)\,e_R = e^{\eta'/2}\,e_R\) y \(S(\eta'\,\hat z)\,e_L = e^{-\eta'/2}\,e_L\). No cambian de dirección: \(e_R\) sigue siendo R y \(e_L\) sigue siendo L. Solo se reescalan, y de forma distinta, porque el boost no es unitario.

c) \(c_R/c_L \to e^{\eta + \eta'}\): es \(u_+\) con rapidez \(\eta + \eta'\) (los boosts en \(z\) suman rapideces).

d) Con rapidez \(-\eta\) se mueve hacia \(-z\), con el espín todavía hacia \(+z\): helicidad negativa. El cociente es \(e^{-\eta}\): pesa más la parte L, como corresponde a una helicidad negativa. Ninguna parte ha cambiado de quiralidad; lo que ha cambiado es cuánto pesa cada una.
\(\bar\Psi\gamma^\mu\gamma^5\Psi = \bar\Psi\gamma^\mu\gamma^5(\Psi_L + \Psi_R) = -\bar\Psi\gamma^\mu\Psi_L + \bar\Psi\gamma^\mu\Psi_R\). Y \(\bar\Psi\gamma^\mu\Psi_L = \bar\Psi\gamma^\mu P_L\Psi_L = \bar\Psi P_R\gamma^\mu\Psi_L = \bar\Psi_L\gamma^\mu\Psi_L\) (igual con R). Restando, \(\bar\Psi\gamma^\mu\Psi - \bar\Psi\gamma^\mu\gamma^5\Psi = 2\bar\Psi_L\gamma^\mu\Psi_L\).
En Pauli-Dirac, \(i\gamma^2\) tiene filas \((0, 0, 0, 1)\), \((0, 0, -1, 0)\), \((0, -1, 0, 0)\) y \((1, 0, 0, 0)\). Los \(u_s\) son reales: \(i\gamma^2 u_1 = N(0, -\kappa, 0, 1) = v_1\) e \(i\gamma^2 u_2 = N(-\kappa, 0, -1, 0) = -v_2\) (un signo global, una fase sin efecto). \(u_1\) tiene espín \(+\frac{1}{2}\) y el espín físico de \(v_1\) también es \(+\frac{1}{2}\) (ext-dirac, sección 3): con el mismo momento, la misma helicidad. Con \(\kappa = 1\), \(\gamma^5 u_1 = N(1, 0, 1, 0) = +u_1\) y \(\gamma^5 v_1 = N(0, 1, 0, -1) = -v_1\): el autovalor de \(\gamma^5\) cambia de signo, y \(v_1\), de helicidad positiva, es el antifermión a derechas, \(v_1 = P_L v_1\).
\((i\gamma^2\Psi^*)^* = -i(\gamma^2)^*\Psi = i\gamma^2\Psi\), y \(i\gamma^2\,i\gamma^2\Psi = -(\gamma^2)^2\Psi = \Psi\), porque \((\gamma^2)^2 = -I\).

Bibliografía#

[MT] Mark Thomson, Modern Particle Physics, Cambridge University Press (2013): quiralidad, sección 6.4; helicidad, sección 4.8; conjugación de carga, sección 4.7.5; \(C\), \(P\) y \(CP\) en el neutrino, sección 13.5.2.
[PS] M. E. Peskin y D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Westview (1995): representación de Weyl y espinores de Weyl, secciones 3.2–3.4 (con la misma convención, \(\gamma^5 = \mathrm{diag}(-1, 1)\)); cuantización del campo de Dirac, sección 3.5.
ext-dirac: la ecuación de Dirac, los espinores, las transformaciones de Lorentz y las formas bilineales.