Partículas — boletín IV#
Diagramas de Feynman, ecuación de Dirac y quiralidad#
Jose A. Hernando
Departamento de Física de Partículas. Universidade de Santiago de Compostela
Curso 2026/27
# Configuración e imports
import numpy as np
# Matrices de Pauli y gamma en la representación de Pauli-Dirac
I2 = np.eye(2)
Z2 = np.zeros((2, 2))
s1 = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
s2 = np.array([[0, -1j], [1j, 0]])
s3 = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
g0 = np.block([[I2, Z2], [Z2, -I2]]).astype(complex)
g = [np.block([[Z2, s], [-s, Z2]]) for s in (s1, s2, s3)]
g5 = 1j * g0 @ g[0] @ g[1] @ g[2]
I4 = np.eye(4)
Objetivos#
Los ejercicios siguen el orden de los temas; en cada bloque, los capítulos del Book donde está la teoría:
Interacciones, vértices y diagramas (1–4): introducción §6; leptones §1.
Ecuación de Dirac, helicidad, paridad y quiralidad (5–9): leptones §2; ext-dirac; ext-quiral.
La violación de la paridad, simulada (10): leptones §2, con su propio cuaderno guiado.
Desintegraciones débiles de los hadrones (11): hadrones §4.
Corrientes neutras (12): Modelo Estándar §1.
Notación. Unidades naturales. \(e\), \(\mu\), \(\tau\) son los leptones con carga negativa y \(e^+\), \(\mu^+\), \(\tau^+\) sus antipartículas; el signo \(+\) separa todas las partículas. La de los espinores está al final del cuaderno.
Interacciones, vértices y diagramas#
introducción §6; leptones §1
[>] Ejercicio 1 — Vértices posibles
Indica si los siguientes vértices son posibles y, en su caso, de qué interacción son y cuál es su constante de acoplo. El tiempo corre de izquierda a derecha.
|
Solución
Sí. Electromagnético; acoplo \(Qe = -e\), con \(\alpha = e^2/4\pi \simeq 1/137\).
No. El neutrino no tiene carga y el fotón no se acopla a él.
No. Las dos flechas entran en el vértice: la línea del fermión no es continua. Leído de izquierda a derecha, entra un \(e\) y sale un \(e^+\), y la carga pasa de \(-1\) a \(+1\). (La aniquilación \(e + e^+ \to \gamma\) sí es posible: el \(e^+\) entra por la izquierda, con la flecha hacia atrás.)
Sí. Débil, corriente neutra; acoplo \(g_Z\,c_L\), con \(c_L = +\frac12\) (el \(Z\) solo ve la parte izquierda del neutrino).
No. El fotón no cambia el sabor (violaría además \(L_e\) y \(L_\mu\)).
Sí. Débil, corriente cargada (\(W^-\)); acoplo \(g_W/\sqrt2\), solo a izquierdas, con \(\alpha_W = g_W^2/4\pi \simeq 1/30\).
No. El \(Z\) no cambia el sabor.
No. El \(W\) conecta los dos miembros del mismo doblete: \(e\) con \(\nu_e\), no con \(\nu_\mu\) (violaría \(L_e\) y \(L_\mu\)).
[>] Ejercicio 2 — Procesos permitidos
Indica y explica si los siguientes procesos están permitidos:
\(\pi^+ \to \mu^+ + \nu_\mu\)
\(\pi^+ \to \mu^+ + \bar\nu_\mu\)
\(n \to p + e\)
\(e \to \nu_e + \gamma\)
Solución
Permitido: conserva la carga (\(+1 \to +1\)) y \(L_\mu\) (\(0 \to -1 + 1\)). Es el canal dominante del \(\pi^+\) (\(99.99\,\%\)).
Prohibido: \(L_\mu\) pasa de \(0\) a \(-2\).
Prohibido. Conserva la carga, pero no el número leptónico (\(0 \to 1\)), y tampoco el momento angular: de espín \(\frac12\) no se pasa a dos fermiones, cuyo momento angular total es entero. Es el argumento de Pauli para el neutrino: \(n \to p + e + \bar\nu_e\).
Prohibido: no conserva la carga (\(-1 \to 0\)).
[>] Ejercicio 3 — Diagramas con electrones y positrones
Dibuja los diagramas de Feynman a nivel árbol (con el intercambio de un fotón) de los siguientes procesos, e indica si son dispersiones o aniquilaciones:
\(e + e \to e + e\)
\(e + e^+ \to \mu + \mu^+\)
\(e + e^+ \to e + e^+\)
Solución
Dispersión de Møller. Dos diagramas de intercambio (canales \(t\) y \(u\)): el fotón va de un electrón al otro, y como los dos electrones finales son idénticos, hay que sumar el diagrama con ellos intercambiados. No hay aniquilación: \(e + e\) tiene carga \(-2\).
Aniquilación (canal \(s\)): \(e + e^+ \to \gamma^* \to \mu + \mu^+\). No hay intercambio, porque el fotón no cambia el sabor.
Dispersión de Bhabha. Dos diagramas: el intercambio (canal \(t\)) y la aniquilación (canal \(s\)).
En los tres, el \(Z\) puede hacer lo mismo que el fotón; su efecto solo es apreciable cerca de \(\sqrt s \sim m_Z\) (Modelo Estándar, §2.1).
[>] Ejercicio 4 — Desintegraciones de los leptones
Completa las siguientes desintegraciones con los neutrinos y antineutrinos necesarios y dibuja sus diagramas de Feynman:
\(\tau \to e + \ldots\)
\(\mu^+ \to e^+ + \ldots\)
\(\tau^+ \to \mu^+ + \ldots\)
Solución
Se conservan la carga y el número leptónico de cada familia:
\(\tau \to e + \bar\nu_e + \nu_\tau\)
\(\mu^+ \to e^+ + \nu_e + \bar\nu_\mu\)
\(\tau^+ \to \mu^+ + \nu_\mu + \bar\nu_\tau\)
En los tres, el leptón inicial pasa a su neutrino (o antineutrino) emitiendo un \(W\) virtual, que se desintegra en el leptón cargado final y su antineutrino (o neutrino): por ejemplo, en (1), \(\tau \to \nu_\tau + W^-\) y \(W^- \to e + \bar\nu_e\). Dos vértices \(W\), cada uno con \(g_W/\sqrt2\).
Ecuación de Dirac, helicidad, paridad y quiralidad#
leptones §2; ext-dirac; ext-quiral
[>] Ejercicio 5 — La matriz σ·v̂
Escribe explícitamente la matriz \(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf v}\), donde \(\hat{\mathbf v}\) es un vector unitario de coordenadas esféricas \((\theta, \phi)\), y demuestra que \((\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf v})^2 = I\). ¿Qué autovalores tiene? ¿Cuánto vale \((\vec\sigma\cdot\mathbf p)^2\)?
Solución
Con \(\hat{\mathbf v} = (\sin\theta\cos\phi,\ \sin\theta\sin\phi,\ \cos\theta)\) y las matrices de Pauli,
Al cuadrado, en la diagonal queda \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\), y fuera de ella \(\cos\theta\, e^{-i\phi}\sin\theta - e^{-i\phi}\sin\theta\cos\theta = 0\), luego \((\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf v})^2 = I\). Sus autovalores cumplen \(\lambda^2 = 1\), y como la traza es nula, son \(+1\) y \(-1\). Con \(\mathbf p = \mathrm p\,\hat{\mathbf v}\), \((\vec\sigma\cdot\mathbf p)^2 = \mathrm p^2\,I\): es lo que se usa en ext-dirac (§2.5) para que \(u_s(p)\) con \(\mathbf p\) cualquiera sea solución.
# Comprobación numérica con un (theta, phi) cualquiera
th, ph = 0.7, 2.1
sv = np.sin(th)*np.cos(ph)*s1 + np.sin(th)*np.sin(ph)*s2 + np.cos(th)*s3
print('(s.v)^2 = I:', np.allclose(sv @ sv, I2), ' autovalores:', np.round(np.linalg.eigvalsh(sv), 6))
(s.v)^2 = I: True autovalores: [-1. 1.]
[>] Ejercicio 6 — Los espinores de helicidad
Determina los bi-espinores \(\chi_\pm(\hat{\mathbf v})\), autoestados de \(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf v}\) con autovalores \(\pm1\).
Demuestra que, en la representación de Pauli-Dirac, \(u_\pm(p) = N \begin{pmatrix} \chi_\pm(\hat{\mathbf v}) \\ \pm\kappa\,\chi_\pm(\hat{\mathbf v}) \end{pmatrix}\) son soluciones de la ecuación de Dirac con \(\mathbf p = \mathrm p\,\hat{\mathbf v}\), y autoestados de la helicidad, \(h = \frac12\,\mathrm{diag}(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf v}, \vec\sigma\cdot\hat{\mathbf v})\), con autovalores \(\pm\frac12\).
Con \(\theta = 0\), ¿qué espinores obtienes? ¿Y con \(\theta = \pi\)? Interprétalo.
Solución
Con \(\chi = (a, b)\), la primera fila da \(a\cos\theta + b\,e^{-i\phi}\sin\theta = \lambda a\), es decir, \(b/a = e^{i\phi}(\lambda - \cos\theta)/\sin\theta\). Con \(\lambda = +1\), \(b/a = e^{i\phi}\tan\frac\theta2\); con \(\lambda = -1\), \(b/a = -e^{i\phi}\cot\frac\theta2\). Normalizados, \(\chi_+(\hat{\mathbf v}) = \begin{pmatrix} \cos\frac\theta2 \\ e^{i\phi}\sin\frac\theta2 \end{pmatrix}\) y \(\chi_-(\hat{\mathbf v}) = \begin{pmatrix} -\sin\frac\theta2 \\ e^{i\phi}\cos\frac\theta2 \end{pmatrix}\). Son los de ext-dirac (§3.4), que allí se obtienen rotando \(\chi_1\) y \(\chi_2\) sin demostración.
La ecuación de Dirac fija el bloque de abajo: \(u^b = \frac{\vec\sigma\cdot\mathbf p}{E+m}\,u^a = \kappa\,(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf v})\,u^a\). Con \(u^a = \chi_\pm\), que es autoestado, \(u^b = \pm\kappa\,\chi_\pm\): es \(u_\pm(p)\). Los dos bloques son autoestados de \(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf v}\) con el mismo autovalor, así que \(h\,u_\pm = \pm\frac12\,u_\pm\).
Con \(\theta = 0\), \(\chi_+ = (1, 0) = \chi_1\) y \(\chi_- = (0, 1) = \chi_2\): los espinores \(u_1\), \(u_2\) con \(\mathbf p\) en \(z\). Con \(\theta = \pi\) (y \(\phi = 0\)), \(\chi_+ = (0, 1)\) y \(\chi_- = (-1, 0)\): el espín de \(u_+\) apunta hacia \(-z\), pero también el momento, y la helicidad sigue siendo \(+\). La helicidad es el espín respecto del momento, no de un eje fijo.
[>] Ejercicio 7 — La paridad
Sobre los espinores la paridad actúa con \(\gamma^0\): \(\Psi(t, \mathbf x) \to \gamma^0\,\Psi(t, -\mathbf x)\).
Comprueba que \(\gamma^0 u_s(E, \mathbf p) = u_s(E, -\mathbf p)\).
Comprueba que los espinores en reposo, \(u_s(m, \mathbf 0)\) y \(v_s(m, \mathbf 0)\), son autoestados de la paridad con autovalores \(+1\) y \(-1\). ¿Qué significa?
Aplica la paridad a los espinores de helicidad \(u_\pm\) con \(\mathbf p\) en \(z\). ¿Qué le pasa a la helicidad?
Demuestra que, si \(\Psi(t, \mathbf x)\) es solución de la ecuación de Dirac, \(\Psi'(t, \mathbf x) = \gamma^0\,\Psi(t, -\mathbf x)\) también lo es.
Solución
\(\gamma^0 = \mathrm{diag}(I, -I)\) cambia el signo del bloque de abajo: \(\gamma^0 u_s(E, \mathbf p) = N\big(\chi_s,\ -\tfrac{\vec\sigma\cdot\mathbf p}{E+m}\chi_s\big) = N\big(\chi_s,\ \tfrac{\vec\sigma\cdot(-\mathbf p)}{E+m}\chi_s\big) = u_s(E, -\mathbf p)\).
\(u_s(m) = \sqrt{2m}\,(\chi_s, 0)\) no tiene bloque de abajo: \(\gamma^0 u_s = +u_s\). \(v_s(m) = \sqrt{2m}\,(0, \xi_s)\) solo tiene el de abajo: \(\gamma^0 v_s = -v_s\). El fermión y el antifermión tienen paridades intrínsecas opuestas: un par fermión-antifermión en onda \(\ell\) tiene paridad \((-1)^{\ell+1}\) (el positronio, los mesones).
\(\gamma^0 u_+(\mathrm p\,\hat z) = N(1, 0, -\kappa, 0) = u_+(-\mathrm p\,\hat z)\): el mismo espín (hacia \(+z\)) con el momento hacia \(-z\), es decir, helicidad negativa. La paridad invierte el momento y no el espín (un momento angular es un vector axial): invierte la helicidad.
Con \(\mathbf y = -\mathbf x\), \(\partial/\partial x^k = -\partial/\partial y^k\). Como \(\gamma^0\) anticonmuta con las \(\gamma^k\), \((i\gamma^0\partial_t + i\gamma^k\partial_{x^k} - m)\,\gamma^0\Psi(t, -\mathbf x) = \gamma^0\,(i\gamma^0\partial_t + i\gamma^k\partial_{y^k} - m)\,\Psi(t, \mathbf y) = 0\). La ecuación de Dirac (sin interacción débil) es invariante bajo paridad.
[>] Ejercicio 8 — La quiralidad
En la representación de Pauli-Dirac, \(\gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}\). Comprueba que \((\gamma^5)^2 = I\), \((\gamma^5)^\dagger = \gamma^5\) y \(\gamma^5\gamma^\mu = -\gamma^\mu\gamma^5\).
Demuestra que \(P_L = \frac12(I - \gamma^5)\) y \(P_R = \frac12(I + \gamma^5)\) son proyectores: \(P_L^2 = P_L\), \(P_R^2 = P_R\), \(P_L + P_R = I\) y \(P_L P_R = P_R P_L = 0\).
Demuestra que la paridad intercambia las quiralidades: \(\gamma^0 P_L\,\gamma^0 = P_R\).
Calcula \(P_L u_\pm\) y \(P_R u_\pm\) para los espinores de helicidad con \(\mathbf p\) en \(z\), y la fracción de cada quiralidad, \(|P_{L,R}\,u_\pm|^2/|u_\pm|^2\), en función de \(\beta\). ¿Qué pasa si \(E \gg m\)? ¿Y en reposo?
En una desintegración \(\beta\) el electrón se produce a izquierdas. ¿Con qué probabilidad tiene helicidad positiva si su energía total es \(1\) MeV? ¿Y si es \(100\) MeV?
Solución
\((\gamma^5)^2 = \mathrm{diag}(I, I)\), y es real y simétrica, luego hermítica. Con \(\gamma^0 = \mathrm{diag}(I, -I)\) y \(\gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_k \\ -\sigma_k & 0 \end{pmatrix}\): \(\gamma^5\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & -I \\ I & 0 \end{pmatrix} = -\gamma^0\gamma^5\) y \(\gamma^5\gamma^k = \mathrm{diag}(-\sigma_k, \sigma_k) = -\gamma^k\gamma^5\). (En ext-dirac, §1.7, se demuestra lo mismo solo con el álgebra de las \(\gamma\), sin representación.)
Con \((\gamma^5)^2 = I\): \(P_L^2 = \frac14(I - 2\gamma^5 + I) = P_L\), igual \(P_R^2 = P_R\); \(P_L + P_R = I\); y \(P_L P_R = \frac14(I - (\gamma^5)^2) = 0\).
\(\gamma^0\) anticonmuta con \(\gamma^5\) y \((\gamma^0)^2 = I\): \(\gamma^0 P_L\gamma^0 = \frac12(I + \gamma^5)(\gamma^0)^2 = P_R\). Un espinor a izquierdas se transforma en uno a derechas: una teoría que solo tenga \(\nu_L\) viola la paridad.
En Pauli-Dirac, \(P_L = \frac12\begin{pmatrix} I & -I \\ -I & I \end{pmatrix}\) y \(P_R = \frac12\begin{pmatrix} I & I \\ I & I \end{pmatrix}\). Con \(u_+ = N(1, 0, \kappa, 0)\) y \(u_- = N(0, 1, 0, -\kappa)\): \(P_R u_+ = \tfrac{N}{2}(1+\kappa)(1, 0, 1, 0)\), \(P_L u_+ = \tfrac{N}{2}(1-\kappa)(1, 0, -1, 0)\), \(P_R u_- = \tfrac{N}{2}(1-\kappa)(0, 1, 0, 1)\) y \(P_L u_- = \tfrac{N}{2}(1+\kappa)(0, 1, 0, -1)\). Con \(|u_\pm|^2 = 2E\), \(N^2 = E + m\) y \(\kappa = \mathrm p/(E+m)\), la fracción a derechas de \(u_+\) es \(\frac{N^2(1+\kappa)^2}{2\cdot 2E} = \frac{E + \mathrm p}{2E} = \frac12(1 + \beta)\), y a izquierdas \(\frac12(1 - \beta)\); para \(u_-\), al revés. Si \(E \gg m\), \(\kappa \to 1\): \(u_+\) es R y \(u_-\) es L, helicidad y quiralidad coinciden, y la fracción «equivocada» es \(\frac12(1 - \beta) \simeq m^2/4E^2\). En reposo, \(\beta = 0\): mitad y mitad.
Es la tabla anterior leída al revés: un estado a izquierdas se reparte en \(\frac12(1 + \beta)\) de helicidad negativa y \(\frac12(1 - \beta)\) de positiva (con las amplitudes de (4), \(\frac{(1-\kappa)^2}{(1-\kappa)^2 + (1+\kappa)^2} = \frac{E - \mathrm p}{2E}\)). Con \(E = 1\) MeV, \(\mathrm p = \sqrt{1 - 0.511^2} = 0.860\) MeV y \(\beta = 0.860\): \(\frac12(1 - \beta) = 0.07\). Con \(E = 100\) MeV, \(m^2/4E^2 = 6.5\times10^{-6}\). Los electrones de la desintegración \(\beta\) (de unos MeV) tienen una polarización longitudinal \(-\beta\), no \(-1\): es lo que se midió tras el experimento de Wu.
# (1)-(3): álgebra de gamma^5 y de los proyectores
PL, PR = (I4 - g5) / 2, (I4 + g5) / 2
print('g5^2 = I:', np.allclose(g5 @ g5, I4), ' hermítica:', np.allclose(g5.conj().T, g5),
' anticonmuta:', all(np.allclose(g5 @ m, -m @ g5) for m in [g0] + g))
print('proyectores:', np.allclose(PL @ PL, PL), np.allclose(PR @ PR, PR), np.allclose(PL @ PR, 0),
' g0 PL g0 = PR:', np.allclose(g0 @ PL @ g0, PR))
# (4)-(5): fracción de helicidad positiva de un electrón a izquierdas
m_e = 0.511 # MeV
for E in (1, 100):
p = np.sqrt(E**2 - m_e**2)
N, k = np.sqrt(E + m_e), p / (E + m_e)
um = N * np.array([0, 1, 0, -k]) # u_-: helicidad negativa, p en z
fR = np.linalg.norm(PR @ um)**2 / np.linalg.norm(um)**2
print('E = {:5.0f} MeV: beta = {:.3f}, (1 - beta)/2 = {:.2g}, |P_R u_-|^2/|u_-|^2 = {:.2g}'.format(
E, p / E, (1 - p / E) / 2, fR))
g5^2 = I: True hermítica: True anticonmuta: True
proyectores: True True True g0 PL g0 = PR: True
E = 1 MeV: beta = 0.860, (1 - beta)/2 = 0.07, |P_R u_-|^2/|u_-|^2 = 0.07
E = 100 MeV: beta = 1.000, (1 - beta)/2 = 6.5e-06, |P_R u_-|^2/|u_-|^2 = 6.5e-06
[>] Ejercicio 9 — La conjugación de carga
En la representación de Pauli-Dirac, la conjugación de carga cambia la solución de la partícula por la de la antipartícula: \(\Psi \to \Psi^c = i\gamma^2\,\Psi^*\).
Comprueba que, para los espinores de helicidad con \(\mathbf p\) en \(z\), \(i\gamma^2 u_\pm^* = \pm v_\pm\). ¿Cambia la helicidad?
Aplica la conjugación de carga a la ecuación de Dirac con el campo electromagnético, \([\gamma^\mu(i\partial_\mu - qA_\mu) - m]\,\Psi = 0\), esto es, toma el complejo conjugado y multiplica por \(i\gamma^2\) por la izquierda. Usa que \(A_\mu\) es real. ¿Qué ecuación cumple \(\Psi^c\)? ¿Qué carga tiene la antipartícula?
Solución
\(i\gamma^2 = i\begin{pmatrix} 0 & \sigma_2 \\ -\sigma_2 & 0 \end{pmatrix}\) es real: sus filas son \((0, 0, 0, 1)\), \((0, 0, -1, 0)\), \((0, -1, 0, 0)\) y \((1, 0, 0, 0)\). Como \(u_\pm\) son reales, \(i\gamma^2 u_+ = N(0, -\kappa, 0, 1) = v_1 = v_+\) e \(i\gamma^2 u_- = N(-\kappa, 0, -1, 0) = -v_2 = -v_-\). La helicidad física de \(v_1\) es \(+\) (ext-dirac, §3.7): \(C\) no cambia la helicidad (ni el momento ni el espín), solo las cargas. En cambio, cambia el autovalor de \(\gamma^5\) (ext-quiral, §2.4).
Conjugando, \([(\gamma^\mu)^*(-i\partial_\mu - qA_\mu) - m]\,\Psi^* = 0\). En Pauli-Dirac \(\gamma^2\) es la única imaginaria, y en los dos casos \(i\gamma^2(\gamma^\mu)^* = -\gamma^\mu\,i\gamma^2\) (si \(\mu \ne 2\), \(\gamma^\mu\) es real y anticonmuta con \(\gamma^2\); si \(\mu = 2\), \((\gamma^2)^* = -\gamma^2\)). Multiplicando por \(i\gamma^2\): \([-\gamma^\mu(-i\partial_\mu - qA_\mu) - m]\,i\gamma^2\Psi^* = 0 \;\Rightarrow\; [\gamma^\mu(i\partial_\mu + qA_\mu) - m]\,\Psi^c = 0\). La misma ecuación con la misma masa y la carga \(-q\): la antipartícula tiene la carga opuesta.
# (1): i gamma^2 u_+- = +- v_+- (N y kappa cualesquiera)
N, k = 1.3, 0.6
up, um = N * np.array([1, 0, k, 0]), N * np.array([0, 1, 0, -k])
vp, vm = N * np.array([0, -k, 0, 1]), N * np.array([k, 0, 1, 0])
C = 1j * g[1]
print('i g2 real:', np.allclose(C.imag, 0), ' i g2 u+* = v+:', np.allclose(C @ up.conj(), vp),
' i g2 u-* = -v-:', np.allclose(C @ um.conj(), -vm))
# (2): i g2 (g^mu)* = - g^mu i g2
print('i g2 (g^mu)* = -g^mu i g2:', all(np.allclose(C @ m.conj(), -m @ C) for m in [g0] + g))
i g2 real: True i g2 u+* = v+: True i g2 u-* = -v-: True
i g2 (g^mu)* = -g^mu i g2: True
La violación de la paridad, simulada#
leptones §2; cuaderno guiado
[>] Ejercicio 10 — La paridad se rompe en la desintegración del muón (con el ordenador)
En 1957, a la vez que Wu, Garwin, Lederman y Weinrich pararon en un bloque de carbono los \(\mu^+\) de \(\pi^+ \to \mu^+ + \nu_\mu\) y contaron los positrones de \(\mu^+ \to e^+ + \nu_e + \bar\nu_\mu\) en función del ángulo. Con \(x = E_e/E_{\max}\), \(E_{\max} = m_\mu/2\), y \(\theta\) el ángulo entre el \(e^+\) y el espín del \(\mu^+\), despreciando la masa del electrón,
con \(\xi = +1\) en la teoría \(V - A\), \(\xi = -1\) en una \(V + A\) y \(\xi = 0\) si se conservase la paridad.
(a) El pión tiene espín \(0\) y el \(\nu_\mu\) helicidad negativa. ¿Hacia dónde apunta el espín del \(\mu^+\) respecto a su momento?
(b) En \(x = 1\) los dos neutrinos salen juntos, opuestos al \(e^+\). Con sus helicidades, y sabiendo que el \(e^+\) de \(V - A\) es un antifermión a derechas, ¿hacia dónde sale el \(e^+\) respecto al espín del \(\mu^+\)? Comprueba que la fórmula da \(1 + \cos\theta\) en \(x = 1\).
(c) Integra en \(x\) y demuestra que \(\mathrm d\Gamma/\mathrm d\cos\theta \propto 1 + \frac{\xi}{3}\cos\theta\), y que la asimetría delante-atrás, \(A_{FB} = (N_F - N_B)/(N_F + N_B)\), vale \(\xi/6\).
(d) Con el ordenador. Simula \(10^4\) desintegraciones con \(\xi = 1\) (por aceptación-rechazo). Dibuja el espectro en \(x\) y la distribución en \(\cos\theta\) para \(x < \frac12\) y para \(x > \frac12\). Mide \(A_{FB}\) y deduce \(\xi\) con su error. ¿Cuántas desintegraciones hacen falta para excluir \(\xi = 0\) a \(5\sigma\)?
(e) Con el ordenador. Repite con \(\xi = -1\). ¿Distingue el espectro en \(x\) entre \(V - A\) y \(V + A\)? ¿Y la distribución angular?
Este ejercicio se hace en su propio cuaderno guiado: boletin_IV_2627_muon.ipynb, con un taller por apartado y sus soluciones.
Solución
(a) El \(\mu^+\) y el \(\nu_\mu\) salen opuestos y sus espines suman \(0\) a lo largo de esa dirección. El espín del \(\nu_\mu\) es opuesto a su momento; el del \(\mu^+\), opuesto al del \(\nu_\mu\): apunta en contra del momento del \(\mu^+\), helicidad negativa. (Para un antifermión de \(V - A\) es la helicidad «equivocada», posible porque el muón tiene masa: la supresión por helicidad.)
(b) El \(\nu_e\) (\(-\)) y el \(\bar\nu_\mu\) (\(+\)), en el mismo sentido, tienen espines opuestos que suman \(0\): el \(e^+\) lleva el espín del \(\mu^+\). A derechas y sin masa, tiene helicidad \(+\): su momento va como su espín, es decir, como el espín del \(\mu^+\). En \(x = 1\) la fórmula da \((3 - 2) + \xi\cos\theta = 1 + \cos\theta\), nula en \(\theta = \pi\).
(c) \(\int_0^1 x^2(3 - 2x)\,\mathrm dx = \frac12\) y \(\int_0^1 x^2(2x - 1)\,\mathrm dx = \frac16\), luego \(\mathrm d\Gamma/\mathrm d\cos\theta \propto \frac12(1 + \frac\xi3\cos\theta)\). Con \(1 + a\cos\theta\), \(N_{F,B} \propto 1 \pm \frac a2\) y \(A_{FB} = \frac a2 = \frac\xi6\).
(d) Con la semilla del cuaderno:
\(10^4\) desintegraciones con \(V - A\). Izquierda: el espectro; derecha: el ángulo para \(x < \frac12\) y \(x > \frac12\), con las rectas esperadas (puntos).
El espectro sigue \(x^2(3 - 2x)\); el 81 % de los positrones tiene \(x > \frac12\). La pendiente esperada es \(-0.11\) para \(x < \frac12\) (\(A_{FB} = -0.06\)) y \(+0.44\) para \(x > \frac12\) (\(A_{FB} = +0.22\)): el factor \((2x - 1)\) cambia de signo, y el argumento de (b) solo vale cerca de \(x = 1\). Con todos, \(A_{FB} = 0.155 \pm 0.010\) (error \(\sqrt{(1 - A^2)/N}\)), es decir, \(\xi = 0.93 \pm 0.06\), compatible con \(1\). Para \(5\sigma\), \(A\sqrt N = 5\) con \(A = \frac16\): \(N \simeq 900\).
(e) Los espectros en \(x\) son iguales: integrado en el ángulo, el término en \(\xi\) desaparece. La distribución angular es la imagen especular (\(A_{FB} = -0.167 \pm 0.010\)). Solo el ángulo respecto al espín distingue \(V - A\) de \(V + A\); se mide \(\xi = 1.000 \pm 0.001\): la violación de la paridad es máxima.
Desintegraciones débiles de los hadrones#
hadrones §4
[>] Ejercicio 11 — Desintegraciones de hadrones
Dibuja los diagramas de Feynman, a nivel de quarks, de las desintegraciones:
\(\pi^+ \to \mu^+ + \nu_\mu\), con \(\pi^+ = (u\bar d)\);
\(K^+ \to \mu^+ + \nu_\mu\), con \(K^+ = (u\bar s)\);
\(\Lambda \to p + e + \bar\nu_e\), con \(\Lambda = (uds)\).
¿Qué elemento de la matriz CKM aparece en cada una? ¿Cuáles están suprimidas por Cabibbo?
Solución
El \(u\) y el \(\bar d\) se aniquilan en un \(W^+\), que se desintegra en \(\mu^+ + \nu_\mu\). Vértice \(u\,d\,W\): \(V_{ud} = \cos\theta_C\).
Igual, con \(u\,\bar s \to W^+\): \(V_{us} = \sin\theta_C\). Suprimida por Cabibbo (aun así es el canal dominante del \(K^+\), 64 %, porque las demás también son débiles).
El \(s\) pasa a \(u\) emitiendo un \(W^-\), que se desintegra en \(e + \bar\nu_e\); el \(u\) y el \(d\) son espectadores: \((uds) \to (udu) = p\). \(V_{us} = \sin\theta_C\): suprimida por Cabibbo.
Corrientes neutras#
Modelo Estándar §1
[>] Ejercicio 12 — Neutrino-electrón: W y Z
Indica qué mediadores intervienen y dibuja los diagramas de Feynman de:
\(\nu_e + e \to \nu_e + e\)
\(\bar\nu_e + e \to \bar\nu_e + e\)
\(\bar\nu_\mu + e \to \bar\nu_\mu + e\)
¿Por qué fue tan importante observar el proceso (3)?
Solución
Dos diagramas. Corriente neutra: intercambio de un \(Z\) entre el neutrino y el electrón. Corriente cargada: el \(e\) pasa a \(\nu_e\) emitiendo un \(W^-\), que absorbe el \(\nu_e\) convirtiéndose en \(e\) (el neutrino y el electrón «intercambian» su identidad).
Dos diagramas. El intercambio de un \(Z\), y la aniquilación \(e + \bar\nu_e \to W^- \to e + \bar\nu_e\) (canal \(s\)).
Solo el \(Z\): el \(W\) conectaría el \(e\) con el \(\nu_e\), no con el \(\nu_\mu\). Un electrón que sale «de la nada» solo lo produce una corriente neutra. Es el suceso que Gargamelle vio en 1973 y la primera prueba de la existencia del \(Z\), diez años antes de producirlo en el SPS.
Notación#
Unidades naturales. Representación de Pauli-Dirac:
Soluciones \(\Psi = u_s(p)\,e^{-ip\cdot x}\) y \(\Phi = v_s(p)\,e^{+ip\cdot x}\), con \(N = \sqrt{E + m}\), \(\kappa = \mathrm p/(E + m)\), \(\chi_1 = \xi_2 = (1, 0)\) y \(\chi_2 = \xi_1 = (0, 1)\):
Con \(\mathbf p\) en \(z\), los de helicidad son \(u_+ = u_1 = N(1, 0, \kappa, 0)\), \(u_- = u_2 = N(0, 1, 0, -\kappa)\), \(v_+ = v_1 = N(0, -\kappa, 0, 1)\) y \(v_- = v_2 = N(\kappa, 0, 1, 0)\). Helicidad: \(h = \mathbf S\cdot\hat{\mathbf p}\), con \(\mathbf S = \frac12\,\mathrm{diag}(\vec\sigma, \vec\sigma)\). \(m_e = 0.511\) MeV.