Extensión: Diagramas de Feynman y propagadores

Extensión: Diagramas de Feynman y propagadores#

Jose A. Hernando

Departamento de Física de Partículas. Universidade de Santiago de Compostela

Septiembre 2026

Introducción#

Esta extensión es el desarrollo matemático de la sección de diagramas de Feynman de perspectivas, en los puntos que allí se dan sin demostrar. Responde a cuatro preguntas:

  1. ¿De dónde sale el propagador \(1/(q^2 - m^2)\)? De la ecuación del campo del mediador.

  2. ¿Por qué la masa del mediador fija el alcance? El potencial de Yukawa, y Coulomb y Rutherford como caso sin masa.

  3. ¿Qué pasa cuando el mediador se pone on-shell? El polo, la anchura y la Breit-Wigner relativista: por qué un \(e^+ + e\) a \(\sqrt{s} = m_Z\) produce \(Z\) a espuertas.

  4. ¿Cómo sale la teoría de Fermi del \(W\)? El límite de baja energía y los factores de \(G_F/\sqrt{2} = g_W^2/8m_W^2\).

Notación#

  • Unidades naturales, \(\hbar = c = 1\); métrica \(g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1)\).

  • \(q^\mu = (q^0, {\bf q})\) es el cuadrimomento transferido por el mediador; \(q^2 = (q^0)^2 - {\bf q}^2\).

  • \(\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu = \partial_t^2 - \nabla^2\).

  • Los factores \(i\) y los signos globales de las reglas de Feynman dependen del convenio; aquí seguimos la estructura, no los factores de fase. [MT5]

1. El propagador#

1.1. Un campo con fuente#

Tomamos el mediador más sencillo, un campo escalar \(\phi\) de masa \(m\). Libre, cumple la ecuación de Klein-Gordon (la tabla de ecuaciones de campo de perspectivas). Si hay algo que lo emite —una fuente \(j(x)\), que en un diagrama es el vértice—, la ecuación gana un término:

\[ (\Box + m^2)\,\phi(x) = j(x) . \]

Es la misma estructura que las ecuaciones de Maxwell con cargas: la fuente produce el campo.

En el espacio de momentos. Con \(\phi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^4q}{(2\pi)^4}\, e^{-iq\cdot x}\,\tilde\phi(q)\), cada derivada se convierte en un factor, \(\partial_\mu \to -iq_\mu\), y \(\Box \to -q^2\). La ecuación diferencial pasa a ser algebraica:

\[ (-q^2 + m^2)\,\tilde\phi(q) = \tilde{j}(q) \qquad \Rightarrow \qquad \boxed{ \tilde\phi(q) = -\,\frac{1}{q^2 - m^2}\;\tilde{j}(q) } \]

El campo que produce la fuente es la fuente multiplicada por \(1/(q^2 - m^2)\): el propagador es la inversa del operador de la ecuación del campo, escrita en momentos.

1.2. Del campo al diagrama#

En un diagrama de dos vértices, la fuente 1 (un fermión que emite) produce el campo del mediador, y ese campo actúa sobre la fuente 2 (el fermión que absorbe). La amplitud es

\[ M \;\propto\; \underbrace{g\,\tilde{j}_2}_{\text{vértice 2}}\;\; \underbrace{\frac{1}{q^2 - m^2}}_{\text{propagador}}\;\; \underbrace{g\,\tilde{j}_1}_{\text{vértice 1}} \]

que es exactamente la regla de perspectivas: dos vértices y un propagador. El propagador depende solo de \(q^2\) y de la masa del mediador, porque es una propiedad del campo, no de quién lo emite. Por conservación en cada vértice, \(q\) es el cuadrimomento que pierde la fuente 1 y gana la 2.

Fuera de la capa de masas. Para una partícula real, \(q^2 = m^2\) y el propagador diverge. En un intercambio, \(q^2\) lo fijan los fermiones externos y en general \(q^2 \neq m^2\): el mediador es virtual (off-shell). En dispersión, \(q^2 < 0\), y el denominador nunca se anula.

1.3. Mediadores vectoriales#

El fotón y los \(W^\pm, Z\) tienen espín 1. Su ecuación con fuente es la de Maxwell (sin masa) o la de Proca (con masa):

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = j^\nu . \]

Con una corriente conservada (\(\partial_\nu j^\nu = 0\), sección 4.5 de ext-dirac) se puede tomar \(\partial_\mu A^\mu = 0\), y la ecuación queda \((\Box + m^2)\,A^\nu = j^\nu\): la de antes, componente a componente. En momentos,

\[ \tilde{A}^\nu(q) = -\,\frac{1}{q^2 - m^2}\;\tilde{j}^\nu(q) , \]

y el campo producido por la corriente 1 se acopla a la corriente 2 como \(j_2^\mu\, g_{\mu\nu}\, \tilde{A}^\nu\). De ahí la forma de perspectivas:

\[ \frac{g_{\mu\nu}}{q^2 - m^2}, \qquad \text{y para el fotón,} \qquad \frac{g_{\mu\nu}}{q^2} . \]

El \(g_{\mu\nu}\) contrae los índices de las dos corrientes. (El propagador completo de un vector con masa lleva además un término \(q_\mu q_\nu/m^2\), que se anula al contraerlo con corrientes conservadas.) [MT5.3]

2. El alcance: el potencial de Yukawa#

2.1. Una fuente en reposo#

Una fuente puntual y estática, \(j = g\,\delta^3({\bf x})\), no depende del tiempo: solo intercambia momento, no energía, y \(q^0 = 0\), \(q^2 = -{\bf q}^2\). La ecuación del campo queda

\[ (-\nabla^2 + m^2)\,\phi({\bf x}) = g\,\delta^3({\bf x}) \qquad \Rightarrow \qquad \tilde\phi({\bf q}) = \frac{g}{{\bf q}^2 + m^2} , \]

el propagador con \(q^2 = -{\bf q}^2\). Volviendo al espacio de posiciones, con \(\int \mathrm{d}\Omega\,e^{i{\bf q}\cdot{\bf r}} = 4\pi \sin(qr)/qr\):

\[ \phi(r) = g\int \frac{\mathrm{d}^3{\bf q}}{(2\pi)^3}\,\frac{e^{i{\bf q}\cdot{\bf r}}}{{\bf q}^2 + m^2} = \frac{g}{2\pi^2 r}\int_0^\infty \frac{q\,\sin(qr)}{q^2 + m^2}\,\mathrm{d}q = \boxed{\frac{g}{4\pi}\,\frac{e^{-mr}}{r}} \]

(la última integral se hace por residuos, con el polo en \(q = im\)).

2.2. Qué se lee#

  • El alcance es \(1/m\). El campo cae exponencialmente a distancias mayores que \(1/m\) (\(\hbar/mc\) en el SI). Es la relación de Yukawa de la introducción: el pión, \(m_\pi = 140\) MeV, da \(1.4\) fm, el tamaño del núcleo; el \(W\), \(2.5 \cdot 10^{-3}\) fm, una interacción prácticamente puntual.

  • Sin masa, Coulomb. Con \(m = 0\) y la carga como fuente, \(\phi = e/4\pi r\), y la energía entre dos cargas es \(e^2/4\pi r = \alpha/r\): el alcance infinito del electromagnetismo.

  • El propagador es el potencial en el espacio de momentos. Lo que en mecánica cuántica es la aproximación de Born —la amplitud de dispersión es la transformada de Fourier del potencial, \(\tilde{V}({\bf q})\)— aquí es el propagador: \(\tilde{V}({\bf q}) \propto g^2/({\bf q}^2 + m^2)\).

2.3. Rutherford, otra vez#

Para el fotón, \(\tilde{V}({\bf q}) \propto e^2/{\bf q}^2\). En una dispersión elástica con momento \(p\) y ángulo \(\theta\), el momento transferido es

\[ |{\bf q}| = 2p\,\sin\frac{\theta}{2} \]

(el triángulo isósceles del taller de Rutherford), y la sección eficaz va como el cuadrado de la amplitud:

\[ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} \;\propto\; \left|\frac{e^2}{{\bf q}^2}\right|^2 = \frac{e^4}{16\,p^4 \sin^4(\theta/2)} . \]

El \(1/\sin^4(\theta/2)\) de Rutherford es el propagador del fotón al cuadrado. Con los factores completos (Born, \(m\) reducida), se recupera la fórmula de la introducción. Un mediador con masa cambiaría \(1/{\bf q}^4\) por \(1/({\bf q}^2 + m^2)^2\), que no diverge en \(\theta \to 0\).

Cuestiones: ¿cuál es el alcance de un mediador de \(m = 1\) GeV? ¿A partir de qué \(|{\bf q}|\) se nota su masa en la sección eficaz?

3. El polo y la anchura#

3.1. Un mediador real#

En una aniquilación, el mediador se lleva toda la energía: \(q^2 = s > 0\). Cuando \(\sqrt{s}\) se acerca a su masa, el propagador \(1/(s - m^2)\) diverge: el mediador deja de ser virtual y se produce de verdad. Pero una partícula real e inestable no tiene una masa exacta.

De dónde sale la anchura. Un estado de masa \(m\) en reposo evoluciona como \(e^{-imt}\); si se desintegra con anchura \(\Gamma\), su amplitud decae como \(e^{-imt}\,e^{-\Gamma t/2}\) (la probabilidad, como \(e^{-\Gamma t}\)). Es como si la masa tuviera una parte imaginaria:

\[ m \;\to\; m - \frac{i\,\Gamma}{2} \qquad \Rightarrow \qquad m^2 \;\to\; m^2 - i\,m\,\Gamma \quad (\Gamma \ll m) . \]

El propagador de un mediador inestable es entonces

\[ \boxed{ \frac{1}{s - m^2 + i\,m\,\Gamma} } \]

que ya no diverge: en \(s = m^2\) vale \(1/(i\,m\Gamma)\), grande pero finito.

3.2. La Breit-Wigner relativista#

La sección eficaz va como el propagador al cuadrado:

\[ \sigma(s) \;\propto\; \frac{1}{(s - m^2)^2 + m^2\,\Gamma^2} , \]

la Breit-Wigner relativista. Cerca del pico, \(s - m^2 = (\sqrt{s} - m)(\sqrt{s} + m) \simeq 2m\,(\sqrt{s} - m)\), y

\[ \frac{1}{(s - m^2)^2 + m^2\Gamma^2} \simeq \frac{1}{4m^2}\,\frac{1}{(\sqrt{s} - m)^2 + \Gamma^2/4} , \]

la Breit-Wigner de la introducción, de anchura total a media altura \(\Gamma\). La anchura del pico de OPAL es la anchura del propagador del \(Z\).

El pico del \(Z\). El cálculo completo de \(e^+ + e \to Z \to f\bar{f}\) en el pico da

\[ \sigma_{pico} = \frac{12\pi}{m_Z^2}\,\frac{\Gamma_{ee}\,\Gamma_{f\bar f}}{\Gamma_Z^2} . \]

Para hadrones, con \(\Gamma_{ee} = 83.9\) MeV, \(\Gamma_{had} = 1744\) MeV y \(\Gamma_Z = 2495\) MeV: \(12\pi/m_Z^2 = 4.53 \cdot 10^{-3}\) \(\mathrm{GeV}^{-2} = 1765\) nb, por \(0.0235\), \(41.5\) nb. OPAL mide unos \(30\) nb en el máximo: la diferencia es la radiación de los electrones antes de chocar, que ensancha y rebaja el pico.

3.3. «\(Z\) a espuertas»#

A \(\sqrt{s} = m_Z\) compiten dos diagramas: el intercambio de un fotón, con \(1/s\), y el de un \(Z\), con \(1/(s - m_Z^2 + i\,m_Z\Gamma_Z)\). En el pico, el cociente de propagadores es

\[ \frac{|1/(i\,m_Z\Gamma_Z)|}{|1/m_Z^2|} = \frac{m_Z}{\Gamma_Z} \simeq 37 , \]

y en la sección eficaz, que va con el cuadrado, más de mil. Con los acoplos incluidos, en \(e^+ + e \to \mu^+ + \mu\):

  • solo el fotón: \(\sigma = 4\pi\alpha^2/3s = 0.0104\) nb;

  • en el pico del \(Z\): \(\sigma = 41.5\ \mathrm{nb} \times \Gamma_{\mu\mu}/\Gamma_{had} \simeq 2.0\) nb, doscientas veces más.

Es lo que resuelve el taller «De la simetría a un número medible» de perspectivas: la estimación electromagnética falla por un factor 200 porque el propagador del \(Z\) tiene su polo justo ahí. Y como la anchura total suma todos los canales, incluidos los que no se ven, la forma del pico cuenta los neutrinos: \(N_\nu = 3\) (taller de la introducción).

Cuestiones: ¿cuánto vale \(m_Z/\Gamma_Z\)? ¿Qué pasaría con la altura del pico si hubiera una cuarta familia con neutrino ligero?

4. La teoría de Fermi como límite#

4.1. El vértice del \(W\)#

La corriente cargada de la interacción débil tiene estructura \(V - A\) (tema de leptones), y el vértice del \(W\) con un par de leptones o de quarks aporta

\[ \frac{g_W}{2\sqrt{2}}\;\gamma^\mu\,(1 - \gamma^5) . \]

El \(\frac{1}{2}(1 - \gamma^5)\) es el proyector de quiralidad \(P_L\) (sección 1.7 de ext-dirac), y el \(1/\sqrt{2}\) viene de cómo se agrupan los campos \(W^\pm\) en la teoría electrodébil: el acoplo a cada corriente cargada es \(g_W/\sqrt{2}\), y con el proyector, \(\frac{g_W}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}(1-\gamma^5) = \frac{g_W}{2\sqrt{2}}(1-\gamma^5)\). [MT11.5]

4.2. El límite de baja energía#

En la desintegración \(\beta\), \(q^2 \sim \mathcal{O}(\mathrm{MeV}^2) \ll m_W^2\), y el propagador se vuelve una constante:

\[ \frac{g_{\mu\nu}}{q^2 - m_W^2} \;\longrightarrow\; -\,\frac{g_{\mu\nu}}{m_W^2} . \]

La amplitud, con dos vértices y el propagador, queda (salvo el signo global)

\[ M = \frac{g_W^2}{8\,m_W^2}\;\left[\bar{u}\,\gamma^\mu(1 - \gamma^5)\,u\right]\left[\bar{u}\,\gamma_\mu(1 - \gamma^5)\,v\right] . \]

Es un acoplo puntual de dos corrientes \(V - A\): la teoría de Fermi, que en su forma moderna se escribe

\[ M = \frac{G_F}{\sqrt{2}}\;\left[\bar{u}\,\gamma^\mu(1 - \gamma^5)\,u\right]\left[\bar{u}\,\gamma_\mu(1 - \gamma^5)\,v\right] . \]

Comparando:

\[ \boxed{ \frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{g_W^2}{8\,m_W^2} } \]

El \(8 = (2\sqrt{2})^2\) son los dos vértices; el \(\sqrt{2}\) de \(G_F/\sqrt{2}\) es un convenio, que se mantiene por razones históricas.

4.3. Números#

Con \(G_F = 1.166 \cdot 10^{-5}\) \(\mathrm{GeV}^{-2}\) y \(m_W = 80.4\) GeV:

\[ g_W = m_W\sqrt{\frac{8\,G_F}{\sqrt{2}}} = 0.653, \qquad \alpha_W = \frac{g_W^2}{4\pi} = 0.034 \simeq \frac{1}{30} . \]

El acoplo débil es mayor que el electromagnético (\(\alpha \simeq 1/137\)). La debilidad a baja energía la pone el propagador: \(G_F \propto g_W^2/m_W^2\) es pequeña porque \(m_W\) es grande. Con la regla de Sargent (sección 7 de ext-cinematica), \(\Gamma \propto G_F^2 E_0^5\): el muón da \(\Gamma_\mu = G_F^2\,m_\mu^5/192\pi^3\) y \(\tau_\mu = 2.2\,\mu\mathrm{s}\).

Cuándo deja de valer. Cuando \(q^2\) se acerca a \(m_W^2\) el propagador ya no es constante, y la teoría de Fermi —con \(G_F\), de dimensiones \(E^{-2}\)— da secciones eficaces que crecen como \(G_F^2\,s\) sin límite. El \(W\) resuelve ese crecimiento: por encima de \(m_W\) el propagador cae como \(1/s\). Es el ejemplo clásico de una teoría efectiva que deja de valer a la escala de la partícula que ha «integrado».

Cuestiones: comprueba \(g_W = 0.653\). ¿A qué \(\sqrt{s}\) el término \(q^2/m_W^2\) corrige un \(10\,\%\) al propagador constante?

Bibliografía#

  • [MT] Mark Thomson, Modern Particle Physics, Cambridge University Press (2013): 5 (diagramas de Feynman, propagadores), 11.5 (el \(W\) y la teoría de Fermi), 16.1 (la resonancia del \(Z\)).

  • [AB] Alessandro Bettini, Introduction to Elementary Particle Physics, Cambridge University Press: 2.5–2.6, 4.

  • [PDG] Particle Data Group: masas y anchuras del \(Z\) y del \(W\); \(G_F\).

  • Relacionadas: ext-dirac (corrientes y simetría gauge), ext-cinematica (espacio fásico y regla de Sargent).

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