Partículas — boletín II#
Observables: sección eficaz, luminosidad, vida media, invariante \(s\), fracción y anchura#
Jose A. Hernando
Departamento de Física de Partículas. Universidade de Santiago de Compostela
Curso 2026/27
# Configuración e imports
%matplotlib inline
import numpy as np
from scipy.stats import expon
# Constantes y masas (GeV, s, cm)
hbar = 6.582e-25 # GeV s
c = 3.0e10 # cm/s
N_A = 6.022e23 # 1/mol
m_p = 0.93827 # GeV
m_pi0 = 0.13498 # GeV
m_tau = 1.7769 # GeV
m_Z = 91.19 # GeV
nb, pb = 1e-33, 1e-36 # cm^2
Objetivos#
Los ejercicios siguen el orden de la sección Observables del capítulo de introducción:
Sección eficaz y luminosidad (1): la luminosidad de un blanco fijo.
Vida media (2): cuántos pares se producen y cuánto vuelan.
El invariante \(s\) (3–8): masa invariante, un pico sobre el fondo (con una gráfica y con datos reales), colisionador frente a blanco fijo y energías umbral.
Fracción de desintegración (9) y anchura (10).
Notación. Unidades naturales, \(\hbar = c = 1\), salvo que se diga lo contrario. \(e\), \(\mu\), \(\tau\) son los leptones con carga negativa y \(e^+\), \(\mu^+\), \(\tau^+\) sus antipartículas; el signo \(+\) separa todas las partículas. LAB es el sistema del laboratorio y CM el del centro de masas; salvo que se diga lo contrario, los datos están en el LAB.
Sección eficaz y luminosidad#
[>] Ejercicio 1 — Luminosidad de un blanco fijo
Calcula la luminosidad equivalente de un haz de protones de intensidad \(10^{13}\) \(\mathrm{s}^{-1}\) que incide sobre un tanque de 10 cm de longitud de hidrógeno líquido, de densidad \(\rho = 60\) kg/\(\mathrm{m}^3\). Compárala con la del LHC, \(10^{34}\) \(\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\).
I = 1e13 # protones/s
rho = 0.060 # g/cm^3
l = 10 # cm
n = rho * N_A / 1.008 # protones (núcleos de H) por cm^3
lum = I * n * l
print('n = {:.1e} cm^-3, L = {:.1e} cm^-2 s^-1, L / L_LHC = {:.0f}'.format(n, lum, lum / 1e34))
n = 3.6e+22 cm^-3, L = 3.6e+36 cm^-2 s^-1, L / L_LHC = 358
Solución
En blanco fijo, \(\nu = \phi\,\sigma\,N_b = (I/S)\,\sigma\,(n S \ell) = \sigma\,I\,n\,\ell\); comparando con \(\nu = \mathcal{L}\sigma\), \(\mathcal{L} = I\,n\,\ell\) (no depende de la sección del haz). \(n = \rho N_A/A = 3.6\times10^{22}\) \(\mathrm{cm}^{-3}\), luego \(\mathcal{L} = 3.6\times10^{36}\) \(\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\), unas 400 veces la del LHC. (Aproximación de blanco delgado: vale si \(\ell \ll \lambda\); aquí \(\lambda \sim 10\) m para \(\sigma \sim 30\) mb.)
Vida media#
[>] Ejercicio 2 — Pares $\tau + \tau^+$ en el pico del $Z$
La sección eficaz \(e + e^+ \to \tau + \tau^+\) es 1.7 nb a \(\sqrt s = 91\) GeV.
Si la luminosidad es \(10^{32}\) \(\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\), ¿cuál es la razón de producción de pares \(\tau + \tau^+\)?
Calcula la energía, el momento y la distancia media recorrida por los \(\tau\) (\(\tau_\tau = 0.29\) ps).
¿Es posible que un \(\tau\) concreto recorra 4 mm? ¿Con qué probabilidad?
En el plano transverso, ¿qué relación guardan los momentos del \(\tau\) y del \(\tau^+\)?
sigma, lum = 1.7 * nb, 1e32
E = 91 / 2
p = np.sqrt(E**2 - m_tau**2)
d = p / m_tau * c * 0.29e-12 # gamma beta c tau, en cm
print('nu = {:.2f} /s'.format(sigma * lum))
print('E = {:.1f} GeV, p = {:.2f} GeV, gamma beta = {:.1f}, <d> = {:.2f} mm'.format(E, p, p / m_tau, 10 * d))
print('P(d > 4 mm) = {:.2f}'.format(expon.sf(0.4, scale=d)))
nu = 0.17 /s
E = 45.5 GeV, p = 45.47 GeV, gamma beta = 25.6, <d> = 2.23 mm
P(d > 4 mm) = 0.17
Solución
\(\nu = \sigma\mathcal{L} = 1.7\times10^{-33}\times10^{32} = 0.17\) \(\mathrm{s}^{-1}\).
\(E = \sqrt s/2 = 45.5\) GeV, \(p = 45.47\) GeV, \(\gamma\beta = p/m = 25.6\); \(\langle d\rangle = \gamma\beta c\tau = 25.6\times87\,\mu\mathrm{m}\) \(= 2.2\) mm.
Sí: la distancia sigue una exponencial de media 2.2 mm; \(P(d > 4\ \mathrm{mm}) = e^{-4/2.2} = 0.16\).
Opuestos e iguales en módulo (el CM coincide con el laboratorio).
El invariante \(s\)#
[>] Ejercicio 3 — Masa invariante de tres protones
Tres protones de \(p = 3\) GeV se emiten en un plano formando \(120^\circ\) entre sí. ¿Cuál es su masa invariante?
Solución
Los tres momentos suman cero, así que \(M = \sum E_i = 3\sqrt{9 + 0.938^2} = 9.43\) GeV.
[>] Ejercicio 4 — Un pico sobre el fondo
La figura muestra los sucesos con cuatro leptones (dos pares \(e + e^+\) o \(\mu + \mu^+\)) que registró ATLAS en colisiones \(p + p\) a \(\sqrt s = 13.6\) TeV (29 \(\mathrm{fb}^{-1}\)), en función de la masa invariante de los cuatro, \(m_{4l}\). Los puntos son los datos; los histogramas, lo que se espera de los procesos conocidos que también dan cuatro leptones (el fondo).
|
\(m_{4l}\) en ATLAS, con el fondo esperado [ATLAS, \(\sqrt s = 13.6\) TeV; figura retocada]. |
¿Hay algo en los datos que el fondo no explique? ¿Dónde? Estima cuántos sucesos de más hay y la masa de la partícula que los produce.
En uno de esos sucesos se miden, en el LAB, los momentos (en GeV) \(e: (54, 0, 0)\), \(e^+: (-38, 0, 0)\), \(\mu: (0, 0, 19)\), \(\mu^+: (-8, 15, 0)\). Desprecia la masa de los leptones. Calcula la masa invariante de los cuatro. ¿Es compatible con el pico? ¿Por qué se usa la masa invariante y no la energía total de los cuatro leptones?
Calcula la masa invariante del par \(e + e^+\) y la del par \(\mu + \mu^+\). ¿Qué partícula se desintegra en cada par? ¿Qué partícula es la madre?
¿Por qué uno de los dos bosones intermedios no puede tener su masa?
def masa(*ps):
# masa invariante de partículas sin masa, dados sus trimomentos
E = sum(np.linalg.norm(p) for p in ps)
P = np.sum(ps, axis=0)
return np.sqrt(E**2 - P @ P)
e, ep, mu, mup = map(np.array, [(54, 0, 0), (-38, 0, 0), (0, 0, 19), (-8, 15, 0)])
print('m4l = {:.1f} GeV, m_ee = {:.1f} GeV, m_mumu = {:.1f} GeV'.format(
masa(e, ep, mu, mup), masa(e, ep), masa(mu, mup)))
m4l = 125.4 GeV, m_ee = 90.6 GeV, m_mumu = 25.4 GeV
Solución
|
La figura original, con la señal del Higgs (azul) y la incertidumbre del fondo (rayado). |
Entre 120 y 130 GeV hay \(8 + 11 + 10 + 10 + 7 = 46\) sucesos donde el fondo espera \(\simeq 17\): unos 30 sucesos de más, agrupados en un pico en \(m_{4l} \simeq 125\) GeV. Fuera del pico los datos siguen al fondo (con fluctuaciones de \(\pm\sqrt N\)). Una partícula de 125 GeV que se desintegra en cuatro leptones: el bosón de Higgs. La anchura del pico, de unos pocos GeV, es la resolución del detector; la del Higgs es de 4 MeV.
\(E = 54 + 38 + 19 + 17 = 128\) GeV y \(\vec P = (8, 15, 19)\) GeV, \(|\vec P|^2 = 650\) \(\mathrm{GeV}^2\): \(m_{4l} = \sqrt{16384 - 650} = 125.4\) GeV, en el pico. La energía total depende del sistema de referencia (aquí el sistema de los cuatro leptones se mueve con \(\beta = 25.5/128 = 0.20\)), y de un suceso a otro cambia con el movimiento del Higgs; la masa invariante es la misma en todos los sistemas y es la masa de la madre.
\(m_{ee} = \sqrt{92^2 - 16^2} = 90.6\) GeV: un \(Z\). \(m_{\mu\mu} = \sqrt{36^2 - 650} = 25.4\) GeV: otro \(Z\), pero lejos de su masa. La cadena es \(H \to Z + Z^* \to e + e^+ + \mu + \mu^+\).
Dos \(Z\) con su masa necesitan \(2m_Z = 182\) GeV \(> m_H = 125\) GeV: no hay energía. Uno sale con su masa y el otro, virtual (\(Z^*\)), con la que sobra: \(m_{Z^*} \le m_H - m_Z \simeq 34\) GeV. Por eso el segundo par tiene siempre una masa invariante pequeña.
[>] Ejercicio 5 — El Higgs en los datos abiertos de CMS (con el ordenador)
Rehaz la figura del ejercicio anterior con datos reales: los 278 sucesos con cuatro leptones de CMS de 2011 y
2012 (\(\sqrt s = 7\) y 8 TeV, 14 \(\mathrm{fb}^{-1}\)), publicados en el CERN Open Data Portal. El fichero
datos/higgs_4l_cms.csv da los cuadrimomentos de los cuatro leptones de cada suceso, y
datos/higgs_4l_cms_esperados.csv, los sucesos esperados de cada fondo y de un Higgs de 125 GeV, en
intervalos de 3 GeV de \(m_{4l}\).
Calcula \(m_{4l}\) de cada suceso a partir de los cuadrimomentos.
Empareja los leptones en dos pares de carga opuesta y mismo sabor; llama \(Z_1\) al más cercano a \(m_Z\). Histograma \(m_{Z_1}\) y \(m_{Z_2}\) para los sucesos con \(121 < m_{4l} < 130\) GeV. ¿Qué relación hay entre \(m_{Z_1}\), \(m_{Z_2}\) y \(m_{4l}\)?
Dibuja el espectro de \(m_{4l}\) entre 70 y 181 GeV sobre los fondos apilados. ¿De qué es el pico en 91 GeV? ¿Dónde hay un exceso?
Cuenta los sucesos observados y el fondo esperado en \(121 < m_{4l} < 130\) GeV. ¿Qué probabilidad hay de que el fondo solo dé tantos o más? Calcúlala con la distribución de Poisson y simulando experimentos. ¿Es un descubrimiento?
Este ejercicio se hace en su propio cuaderno guiado: boletin_II_2627_higgs_4l.ipynb, con un taller por apartado y sus soluciones.
[>] Ejercicio 6 — El LHC en blanco fijo
En el LHC colisionan protones con \(\sqrt s = 14\) TeV. ¿Qué energía tiene cada protón? Si la colisión fuese en blanco fijo, ¿qué energía necesitaría el protón incidente?
s = 14e3**2 # GeV^2
E_fijo = (s - 2 * m_p**2) / (2 * m_p)
print('colisionador: E = {:.0f} GeV; blanco fijo: E = {:.2e} GeV = {:.1e} eV'.format(
np.sqrt(s) / 2, E_fijo, E_fijo * 1e9))
colisionador: E = 7000 GeV; blanco fijo: E = 1.04e+08 GeV = 1.0e+17 eV
Solución
En el colisionador (CM), \(s = (2E)^2\): \(E = 7\) TeV. En blanco fijo, \(s = (E + m_p)^2 - p^2 = 2m_p^2 + 2m_pE\):
energía que solo alcanzan los rayos cósmicos.
[>] Ejercicio 7 — Producción de antiprotones
Para producir antiprotones se hace incidir un haz de protones sobre un blanco de hidrógeno mediante \(p + p \to p + p + p + \bar p\).
Comprueba que la reacción está permitida.
Determina la energía mínima en el CM.
Determina la energía y el momento umbral del protón incidente en el laboratorio.
s_min = (4 * m_p)**2
E = (s_min - 2 * m_p**2) / (2 * m_p)
print('sqrt(s)_min = {:.2f} GeV; E = {:.2f} GeV, p = {:.2f} GeV, T = {:.2f} GeV'.format(
np.sqrt(s_min), E, np.sqrt(E**2 - m_p**2), E - m_p))
sqrt(s)_min = 3.75 GeV; E = 6.57 GeV, p = 6.50 GeV, T = 5.63 GeV
Solución
Conserva la carga (\(2 \to 2\)) y el número bariónico (\(2 \to 3 - 1 = 2\)): el \(\bar p\) se crea junto a un protón.
\(\sqrt{s}_{\min} = 4m_p = 3.75\) GeV.
\(2m_p^2 + 2m_pE = 16m_p^2 \Rightarrow E = 7m_p = 6.57\) GeV; \(p = \sqrt{48}\,m_p = 6.50\) GeV; \(T = 6m_p = 5.63\) GeV.
[>] Ejercicio 8 — Fotoproducción de piones y el corte GZK
Considera \(\gamma + p \to p + \pi^0\).
¿Cuál es la energía mínima de los fotones si inciden sobre protones en reposo?
¿Qué energía mínima deben tener los protones ultrarrelativistas de los rayos cósmicos para que la reacción tenga lugar con los fotones de 1 meV del fondo cósmico de microondas?
Justo por encima del umbral la sección eficaz es \(\sigma = 0.6\) mb y la densidad de fotones del fondo es \(\rho_\gamma = 4.1\times10^{8}\) \(\mathrm{m}^{-3}\). Calcula la longitud de interacción del protón. ¿Es grande o pequeña a escala cosmológica? (1 Mpc \(= 3.09\times10^{22}\) m.)
s_umbral = (m_p + m_pi0)**2
E_gamma = (s_umbral - m_p**2) / (2 * m_p)
E_p = s_umbral / (4 * 1e-12) # fotón de 1 meV = 1e-12 GeV, choque frontal
lam = 1 / (4.1e8 * 0.6e-31) # m (0.6 mb = 0.6e-31 m^2)
print('E_gamma = {:.0f} MeV; E_p = {:.1e} eV; lambda = {:.1e} m = {:.1f} Mpc'.format(
1e3 * E_gamma, 1e9 * E_p, lam, lam / 3.09e22))
E_gamma = 145 MeV; E_p = 2.9e+20 eV; lambda = 4.1e+22 m = 1.3 Mpc
Solución
En el umbral, \(s = (m_p + m_\pi)^2\).
\(s = (E_\gamma + m_p)^2 - E_\gamma^2 = m_p^2 + 2m_pE_\gamma \Rightarrow E_\gamma = \dfrac{(m_p + m_\pi)^2 - m_p^2}{2m_p} = 145\) MeV.
Con \(E_p \simeq p_p\): \(s \simeq 2E_\gamma E_p(1 - \cos\theta)\), mínimo en choque frontal (\(\cos\theta = -1\)): \(s = 4E_\gamma E_p \Rightarrow E_p = \dfrac{(m_p + m_\pi)^2}{4E_\gamma} = 2.9\times10^{20}\) eV. Por encima, los protones pierden energía con el fondo cósmico (corte GZK).
\(\lambda = 1/(\rho_\gamma\sigma) = 4\times10^{22}\) m \(\simeq 1.3\) Mpc, frente a los \(\sim10^{4}\) Mpc del universo observable: minúscula. Un protón de \(10^{20}\) eV no puede venir de lejos. (Matiz honesto: 1.3 Mpc es la longitud de interacción muy por encima del umbral. La distancia que de verdad importa es la de pérdida de energía, más larga —del orden de 100 Mpc—, porque cerca del umbral solo participa la cola energética del espectro de cuerpo negro y porque cada colisión se lleva solo un \(\sim20\,\%\) de la energía del protón. La conclusión no cambia: hay un horizonte GZK, y los rayos cósmicos de energía extrema tienen que proceder del universo cercano.)
Fracción de desintegración y anchura#
[>] Ejercicio 9 — Higgs a dos fotones en el LHC
La sección eficaz de producción del Higgs es 50 pb en colisiones \(p + p\) a \(\sqrt s = 8\) TeV. Si \(\mathcal{B}(H \to \gamma + \gamma) = 2.2\times10^{-3}\), ¿cuántos sucesos de este tipo se producen en un año (\(10^7\) s) con \(\mathcal{L} = 10^{34}\) \(\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}\)? ¿Qué luminosidad integrada hace falta para producir 100?
sigma, Br, lum, T = 50 * pb, 2.2e-3, 1e34, 1e7
print('N = {:.1e}; L_int para 100 = {:.0f} pb^-1'.format(sigma * Br * lum * T, 100 / (50 * Br)))
N = 1.1e+04; L_int para 100 = 909 pb^-1
Solución
\(N = \sigma\,\mathcal{B}\,\mathcal{L}\,T = 50\times10^{-36}\times2.2\times10^{-3}\times10^{34}\times10^{7} = 1.1\times10^{4}\). \(\mathcal{L}_{\rm int} = N/(\sigma\mathcal{B}) = 100/(50\ \mathrm{pb}\times2.2\times10^{-3}) = 909\) \(\mathrm{pb}^{-1}\) \(\simeq 0.9\) \(\mathrm{fb}^{-1}\).
[>] Ejercicio 10 — Anchura y vida media
La vida media del \(\pi^0\) es \(\tau = 8.4\times10^{-17}\) s. ¿Cuál es su anchura de desintegración? La anchura del mesón \(\eta\) es \(\Gamma_\eta = 1.3\) keV. ¿Cuál es su vida media?
print('Gamma(pi0) = {:.1f} eV; tau(eta) = {:.1e} s'.format(1e9 * hbar / 8.4e-17, hbar / 1.3e-6))
Gamma(pi0) = 7.8 eV; tau(eta) = 5.1e-19 s
Solución
\(\Gamma = \hbar/\tau\): \(\Gamma_{\pi^0} = 6.58\times10^{-16}\) eV s \(/ 8.4\times10^{-17}\) s \(= 7.8\) eV; \(\tau_\eta = \hbar/\Gamma_\eta = 6.58\times10^{-16}/1.3\times10^{3} = 5.1\times10^{-19}\) s. Anchuras de eV–keV para desintegraciones electromagnéticas; el \(\eta\) vive menos porque tiene más canales abiertos.
Datos#
Constantes. \(\hbar c = 197.3\) MeV fm; \(\hbar = 6.582\times10^{-22}\) MeV s; \(c = 3.0\times10^{8}\) m/s; \(N_A = 6.022\times10^{23}\) \(\mathrm{mol}^{-1}\); 1 b \(= 10^{-24}\) \(\mathrm{cm}^2 = 100\) \(\mathrm{fm}^2\), 1 pb \(= 10^{-36}\) \(\mathrm{cm}^2\).
Masas. \(m_{\pi^0} = 134.98\) MeV, \(m_p = 938.27\) MeV, \(m_\tau = 1776.9\) MeV, \(m_Z = 91.19\) GeV.