Integrales en una dimensión#

import time
print(' Última ejecución  ', time.asctime() )

 Última ejecución   Sat Mar 18 10:55:57 2023

Objectivos#

Introducir el concepto de suma de Riemann.

Mostrar algunos ejemplos

Recordar los métodos de integración

# general imports
%matplotlib inline
%reload_ext autoreload
%autoreload 2

# numpy and matplotlib
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
matplotlib.style.use('ggplot')
import graph_utils as gf

figsize = 6, 3.8
cmap    = 'hot'

Integrales#

En la siguiente figura, ¿Cómo calcularías el área bajo la gráfica y el eje x?

fun = lambda x : np.sin(x) 
a, b, size = 0., np.pi, 100
xs  = np.linspace(a, b, size)
plt.plot(xs, fun(xs), 'black'); plt.plot(xs, np.zeros(100), 'black');
plt.fill_between(xs, fun(xs), alpha = 0.5); plt.xlabel(r'$x$'); plt.ylabel(r'$f(x)$');
../_images/tintegral_1d_5_0.png

Vamos a definir primero qué es una partición de un intervalo.

Partición#

Una partición, \(P\) es un conjunto finito, \(\{x_i; \; i = 0, \dots, n\}\), de puntos consecutivos en el intervalo \([a, b]\), de tal forma que \(x_0 = a, \; x_n = b\) y \(x_i < x_{i +1} \; \forall i\)

El tamaño o norma, \(\| P \|\), de una partición será el tamaño del mayor de sus subintervalos, \(\mathrm{máx}\{x_{i} - x_{i-1}; \; i = 1, \dots, n \}\)

Una partición es más pequeña o más fina que otra si su norma es más pequeña.

Una partición es regular si \(\Delta x_i = \delta, \; i = 1, \dots, n\).

Suma de Riemann#

Sea \(P\) una partición del intervalo \([a, b]\), y \(t_i\) un punto en el subintervalo \([x_{i-1}, x_i]\) y \(\Delta x_i = x_{i} - x_{i-1}\) con \(i = 1, \dots, n\), y \(f(x)\) una función, \(\mathcal{R} \to \mathcal{R}\); llamamos suma de Riemann a la cantidad:

\[ \mathcal{S}(f, P) = \sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta x_i \]
def riemann_sum(fun, a, b, size = 100, draw = False):
    xs   = np.linspace(a, b, size)
    dx   = xs[1] - xs[0]  
    ts   = [xi + dx * np.random.uniform() for xi in xs[:-1]]
    sr   = sum([fun(ti) * dx for ti in ts])
    if (draw): 
        plt.bar(xs[:-1] + 0.5 * dx, fun(ts), dx)
        plt.plot(xs, fun(xs), c= 'black')
    return sr

Explora: Modifica en la siguiente celda la función, el intervalo, y especialmente el número de subintervalos de la partición regular.

rsum = riemann_sum(np.sin, 0, np.pi, size = 80, draw = True)
print('Riemann Sum {:6.5f}'.format(rsum))

Riemann Sum 1.99520
../_images/tintegral_1d_10_1.png

En la siguiente celda estudiamos la evolución de la suma de Riemann para particiones regulares cada vez más finas.

fun   = lambda x : np.sin(x)
a, b  = 0., np.pi
sizes = [int(2**i) for i in range(1, 11)]
srs   = [riemann_sum(fun, a, b, int(size)) for size in sizes]
plt.plot(sizes, srs); plt.xscale('log'); plt.ylabel('Suma de Riemann'); plt.xlabel('subintervalos');
../_images/tintegral_1d_12_0.png

Comprobamos que la suma de Riemann para particiones cada vez más finas converge a un determinado valor \(S\).

Integral de Riemman#

Decimos que la función \(f(x)\) es integrable Rienmann si existe un número \(S\), o integral de Riemman, tal que \(\forall \epsilon >0\), existe una partición \(P_\epsilon\) del intervalo \([a, b]\), tal que para una partición más fina que \(P_\epsilon\), y para cada elección de puntos \(t_i\) del subintervalo \([x_{i-1}, \, x_i]\), se cumple:

\[ | \mathcal{S}(f, P) - S | < \epsilon \]

El número \(S\) se representa por:

\[ S = \int_a^b f(x) \; \mathrm{d}x \]

La suma superior de Riemann se define:

\[ \mathcal{U}(f, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^n f(x'_i) \; \Delta x_i \]

donde ahora \(x'_i\) es el valor del subintervalo \([x_{i-1}, \,x_{i}]\) donde la función \(f(x)\) es máxima.

Y la suma inferior de Riemann:

\[ \mathcal{L}(f, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^n f(x'_i) \, \Delta x_i \]

donde ahora \(x'_i\) es el valor del intervalo \([x_{i-1}, x_{i}]\) donde la función \(f(x)\) es mínima.

Siempre se cumple:

\[ \mathcal{L}(f, \mathcal{P}) \le \mathcal{S}(f, \mathcal{P}) \le \mathcal{U}(f, \mathcal{P}) \]

Primer teorema fundamental del cálculo integral#

Sea \(f(x)\) una función integrable Riemann en el intervalo \([a,b]\), definimos la función:

\[ F(x) = \int_a^x f(x) \; \mathrm{d}x \]

Si \(f(x)\) es continua en \(c \in (a, b)\), \(F(x)\) es derivable en \(c\) con derivada: \(F'(c) = f(c)\)

Demostración:

Por definición de derivada:

\[ F'(c) = \lim_{h\to0} \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \]

En este caso, donde \(h\) es pequeño.

\[ F(c+h)-F(c) = \int_a^{c+h} f(x) \; \mathrm{d}x - \int_a^{c} f(x) \; \mathrm{d}x = \int_c^{c+h} f(x) \; \mathrm{d}x \simeq f(t) \, h \]

Si consideramos \(h\) suficientemente pequeño, damos la integral como la suma de Riemann en un intervalo \([c, c+h]\) con punto aletaorio \(t\). Al hacer \(h \to 0, \; t \to c\), y:

\[ F'(c) = f(c) \]

Segundo teorema fundamental del cálculo integral#

Una función \(F(x)\) se llama primitiva de una función \(f(x)\) en un intervalo abierto \((a,b)\) si \(F'(x) = f(x)\) para todo \(x \in (a,b)\).

Dos primitivas de una funci’on solo pueden diferir en una constante: \(P(x) = F(x) + C\)

Teorema: Sea \(f(x)\) integrable Riemann en \([a,b]\), sea \(P(x)\) una función definida en \([a,b]\), tal que exista la derivada \(P'(x)\) en \((a,b)\) y cuyo valor sea \(P'(x) = f(x)\), se cumple:

\[ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^b P'(x) \;\mathrm{d}x = P(b) - P(a) \]

O lo que es lo mismo, sea \(P(x)\) una primitiva cualquiera de \(f(x)\), se cumple

\[ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = P(b)-P(a) \]

Demostración:

Sea

\[ F(x) = \int_a^x f(x) \, \mathrm{d}x \]

Se cumple por el teorema anterior \(F'(x)=f(x)\) o que \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\).

Dos primitivas difieren por una constante \(C\):

\[\begin{split} F(a) = P(a) +C = 0 \\ F(b) = P(b) + C \end{split}\]

luego:

\[\begin{split} C = - P(a) \\ F(b) = P(b) - P(a) \end{split}\]