Integral de superficie

import time
print(' Última ejecución ', time.asctime() )

 Última ejecución  Tue Apr 11 18:07:10 2023

Objectivos

Revisar la parametrización de superficies.

Definir la integral de una función escalar y vectorial en una superficie.

Mostrar algunos ejemplos sencillos.

# general imports
%matplotlib inline
%reload_ext autoreload
%autoreload 2

# numpy and matplotlib
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
matplotlib.style.use('ggplot')
import graph_utils as gf

figsize = 6, 3.8
cmap    = 'hot'

Integral en una superficies

Revisión de parametrización de superficies.

Hemos visto con anterioridad que podemos parametrizar una superficie, \({\bf \sigma}(u, v)\), de un espacio \(\mathrm{R}^3\) como una función vectorial definida en un región \(R\) de un espacio \((u, v)\) de \(\mathrm{R}^2\).

\[ \sigma(u, v) = \left( x(u, v), \, y(u, v), \, z(u, v) \right) \]

Ejemplo: parametrización de un cilindro centrado en el origen, con eje en \(z\), radio \(r\), y longitud infinita

\[ \sigma(\phi, z) = (r \cos \phi, \, r \sin \phi, z), \; \phi \in [0, 2\pi), \, z \in \mathrm{R} \]

Observa: como las siguientes figuras están dibujadas a partir de la malla de \((u, v)\). Puedes ver su cuadrícula.

Observa: fíjate también en las líneas de la superficie, cada una ellas corresponde al caso en la que \(u\) o \(v\) son constantes y la otra variable recorre los posible valores de su rango.

r, size = 1., 2.
phirange = (0., 2*np.pi, 41)
zrange   = (-size, size, 20) 
xfun = lambda phi, z : r * np.cos(phi)
yfun = lambda phi, z : r * np.sin(phi) 
zfun = lambda phi, z : z
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, phirange, zrange, alpha = 0.6);

Ejemplo: Parametrización de una esfera centrada en el origen de radio \(r\).

\[ \sigma(\theta, \phi) = \left( r \sin \theta \cos \phi, r \sin \theta \sin \phi, r \cos \theta \right), \; \theta \in [0, \pi], \, \phi \in [0, 2 \pi) \]

Observa: fíjate también en las líneas de la superficie, cada una ellas corresponde al caso en la que \(u\) o \(v\) son constantes y la otra variable recorre los posible valores de su rango.

phirange   = (0., 2*np.pi, 30)
thetarange = (0.,   np.pi, 30) 
xfun = lambda phi, theta : r * np.sin(theta) * np.cos(phi)
yfun = lambda phi, theta : r * np.sin(theta) * np.sin(phi)
zfun = lambda phi, theta : r * np.cos(theta)
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, phirange, thetarange, alpha = 0.6);

La superficie se construye a partir de líneas maestras. Fijado un valor de \(u = u'\), si recorremos \(v\) en su rango, \([v_0, v_1]\) obtenenos las líneas maestras a lo largo de \(v\).

\[ {\bf c}_{u'}(v) = \left( x(u', v), y(u', v), z(u', v) \right), \; u = u' , \, v \in [v_0, v_1] \]

Y viceversa:

\[ {\bf c}_{v'}(u) = \left( x(u, v'), y(u, v'), z(u, v') \right), \; u = [u_0, u_1] , \, v = v' \]

Observa: En la siguiente figura están marcadas dos de las líneas maestras del cilindro.

Explora: Cambia las líneas maestras que están dibujadas, cambiando el elemento \((i, j)\) de la malla \((u, v)\).

r, size = 1., 2.
phirange = (0., 2*np.pi, 31)
zrange   = (-size, size, 31) 
phii, zj = 0, 10
xfun = lambda phi, z : r * np.cos(phi)
yfun = lambda phi, z : r * np.sin(phi)
zfun = lambda phi, z : z
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, phirange, zrange, alpha = 0.6);
gf.wfmasterlines(xfun, yfun, zfun, phirange, zrange, ui = phii, vj = zj);

Observa: En la siguiente figura están marcadas dos de las líneas maestras de la esfera.

Explora: Cambia las líneas maestras que están dibujadas, cambiando el elemento \((i, j)\) de la malla \((u, v)\).

r          = 1.
phirange   = (0., 2*np.pi, 31)
thetarange = (0.,   np.pi, 31) 
phii, thetaj = 20, 14 # 20, 14
f0         =  0.85
xfun = lambda phi, theta : f0 * r * np.sin(theta) * np.cos(phi)
yfun = lambda phi, theta : f0 * r * np.sin(theta) * np.sin(phi)
zfun = lambda phi, theta : r * np.cos(theta)
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, phirange, thetarange, alpha = 0.6);
gf.wfmasterlines(xfun, yfun, zfun, phirange, thetarange, ui = phii, vj = thetaj);
#plt.gca(projection='3d').auto_scale_xyz((-1, 1), (-1, 1), (-1, 1))
#plt.set_aspect('equal','box')

En un punto \((u, v)\) podemos obtenemos los vectores tangentes a las líneas en ese punto.

\[ {\bf t}_u = \frac{\partial \sigma(u, v)}{ \partial u}, \; {\bf t}_v = \frac{\partial \sigma(u, v)}{ \partial v} \]

que están asociados a lo diferencial vectorial de arco de cada línea maestra:

\[ {\bf t}_u \, \mathrm{d}u, \; {\bf t}_v \, \mathrm{d}v \]

El vector normal a los dos vendrá dado por:

\[ {\bf n} = {\bf t}_u \times {\bf t}_v \]

Si te das cuenta \({\bf n}\) es la normal a los dos vectores y su módulo corresponde al área del paralelogramo que sustentan \({\bf t}_u, \; {\bf t}_v\).

El diferencial de área

\[ \mathrm{d} \vec{\sigma} = {\bf n} \, \mathrm{d}u \mathrm{d} v, \; \mathrm{d}\sigma = |{\bf n}| \, \mathrm{d}u \mathrm{d} v, \]

Diremos que una superficie es regular siempre que exista \({\bf n}\) en todo el rango de \((u, v)\).

Observa: los vectores tangentes, \({\bf t}_u, \, {\bf t}_v\) a la superficie un punto y su vector normal \({\bf n}\).

Explora: cambia la posición \((i, j)\) de la malla de \((u, v)\) donde dibujamos los tres vectores.

r, size = 1., 2.
phirange = (0., 2*np.pi, 21)
zrange   = (-size, size, 21) 
phii, zj = 14, 8
xfun = lambda phi, z : r * np.cos(phi)
yfun = lambda phi, z : r * np.sin(phi)
zfun = lambda phi, z : z
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, phirange, zrange, alpha = 0.6);
gf.wfaxis(xfun, yfun, zfun, phirange, zrange, ui = phii, vj = zj);

r          = 1.
phirange   = (0., 2*np.pi, 21)
thetarange = (0.,   np.pi, 21) 
thetai, phij = 8, 18
xfun = lambda theta, phi : r * np.sin(theta) * np.cos(phi)
yfun = lambda theta, phi : r * np.sin(theta) * np.sin(phi)
zfun = lambda theta, phi : r * np.cos(theta)
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, thetarange, phirange, alpha = 0.6);
gf.wfaxis(xfun, yfun, zfun, thetarange, phirange, ui = thetai, vj = phij);

Cuestión: ¿Es la siguiente superficie regular?

\[ \sigma (\phi, z) = \left(z \cos \phi, z \sin \phi, z \right), \; \phi \in [0, 2 \pi), z \ge 0 \]

phirange = (0., 2*np.pi, 30)
zrange   = (0.,      1., 30) 
xfun = lambda phi, z : z * np.cos(phi)
yfun = lambda phi, z : z * np.sin(phi)
zfun = lambda phi, z : z 
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, phirange, zrange, alpha = 0.6);

Si consideramos ahora en un punto \((u, v)\) los elementos diferenciales de arco en las dos líneas maestras son:

\[ {\bf t}_u \, \mathrm{d}u, \; {\bf t}_v \, \mathrm{d}v \]

y el elemento diferencial de área que sustentan es:

\[ \mathrm{d} \sigma = |{\bf n}| \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v = | {\bf t}_u \times {\bf t}_v | \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v \]

Entonces, para obtener el área de una superficie parametrizada \(\sigma (u, v)\) donde \((u, v)\) están definidas en una región \(R\), calculamos:

\[ S = \int_{\sigma} \mathrm{d}\sigma = \int_{R} |{\bf n} | \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v = \int_{R} |{\bf t}_u \times {\bf t}_v | \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v \]

Ejemplo: Calcula el área de una esfera de radio \(r\).

La superficie parametrizada es:

\[ \sigma(\theta, \phi) = \left( r \sin \theta \cos \phi, r \sin \theta \sin \phi, r \cos \theta \right), \; \theta \in [0, \pi], \, \phi\in [0, 2 \pi] \]

Los vectores directores:

\[ {\bf t}_\theta = \left( r \cos \theta \cos \phi , r \cos \theta \sin \phi, - r \sin \theta \right) \]

\[ {\bf t}_\phi = \left( - r \sin \theta \sin \phi , r \sin \theta \cos \phi, 0 \right) \]

Y el vector normal:

\[\begin{split} {\bf n} = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \\ r \cos \theta \cos \phi & r \cos \theta \sin \phi & - r \sin \theta \\ - r \sin \theta \sin \phi & r \sin \theta \cos \phi & 0 \end{array} \right| \end{split}\]

Esto es:

\[ {\bf n} = \left( r^2 \sin^2 \theta \cos \phi, \; r^2 \sin^2 \theta \sin \phi, \; r^2 \cos \theta \sin \theta \right) \]

Y por lo tanto

\[ |{\bf n}| = \sqrt{r^4 \sin^4 \theta + r^4 \cos^2 \theta \sin^2 \theta} = r^2\sin \theta \]

El área de la superficie es:

\[ S = \int_{\sigma} \mathrm{d}\sigma = \int_R |{\bf n}| \, \mathrm{d} u \mathrm{d}v = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\phi \mathrm{d} \theta \]

\[ = r^2 \, \phi \Big|_0^{2 \pi} \, (-\cos \theta)\Big|_0^{\pi} = 4 \pi r^2 \]

Parametrización de la superficie de una gráfica.

Podemos considerar la gráfica de una función \(f(x, y)\) definida en una reción \(R\) como la parametrización de una superficie con \((x, y)\)

\[ \sigma(x, y) = \left( x, y, z = f(x, y) \right)\; (x, y) \in \mathrm{R} \]

En este caso los vectores directores y el vector normal tienen expresiones más simples:

\[ {\bf t}_x(x, y) = \left( 1, 0, \frac{\partial z}{\partial x}\right), \]

\[ {\bf t}_y(x, y) = \left(0, 1, \frac{\partial z}{ \partial y} \right) \]

y:

\[\begin{split} {\bf n} = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \\ 1 & 0 & \frac{\partial z}{\partial x} \\ 0 & 1 & \frac{\partial z}{\partial y} \\ \end{array} \right| = \left(-\frac{\partial z}{\partial x}, -\frac{\partial z}{\partial y}, 1\right) \end{split}\]

Y el módulo:

\[ |{\bf n}| = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \]

Observa: la siguiente figura, donde se representa la gráfica de la función, \(f(x, y) = x^2 + y^2\), y se dibuja una partición de la región \((x, y)\). Para cada uno de los rectángulitos de la gráfica, que es una pequeña sección de un plano, estamos dando su área como:

\[ \mathrm{d} \sigma = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

Mientras que el área de los rectángulos en \((x, y) \) que los sustentan es \( \mathrm{d}x\mathrm{d}y \)

Podemos reescribir:

\[ \mathrm{d}\sigma = \frac{\mathrm{d}x \mathrm{d}y}{\cos \gamma}, \;\; \cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2}} \]

Donde \(\gamma\) es ahora el ángulo que forma la normal, \({\bf n}\), con el eje \(z\).

xrange = (-1., 1., 20)
xfun = lambda x, y : x
yfun = lambda x, y : y
zfun = lambda x, y : x*x + y*y
zero = lambda x, y : 0*x + 0*y
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, xrange, xrange, alpha = 0.5);
gf.wfaxis   (xfun, yfun, zfun, xrange, xrange, 0, 15)
gf.wfsurface(xfun, yfun, zero, xrange, xrange, newfig = False, alpha = 0.5, color = 'b');

Ejercicio: Verifica que \(\gamma\) es dicho ángulo para gráficas de planos

xrange = (-1., 1., 5)
a, b, c = 0., 1, 1.
cgamma = np.sqrt(1/(1+a*a+b*b))
xfun = lambda x, y : x
yfun = lambda x, y : y 
zfun = lambda x, y : a*x + b*y + c
zero = lambda x, y : 0*x + 0*y
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, xrange, xrange, alpha = 0.5);
gf.wfsurface(xfun, yfun, zero, xrange, xrange, newfig = False, alpha = 0.5, color = 'b');
xi, yj = 0, 0
gf.wfaxis(xfun, yfun, zfun, xrange, xrange, ui = xi, vj = yj)
gf.wfaxis(xfun, yfun, zero, xrange, xrange, ui = xi, vj = yj, color = 'green')
print('gamma', np.arccos(cgamma), 'cos(gamma)', cgamma)

gamma 0.7853981633974483 cos(gamma) 0.7071067811865476

Integral de una función escalar en una superfice

Sea \(S\) una superficie parametrizada con \(\sigma(u, v)\) en una region \(R\) de \((u, v)\), y \(f(x, y, z)\) una función escalar definida en los puntos de la superficie. Llamamos integral de la función \(f(x, y, z)\) en la superficie \(\sigma(u, v)\) a:

\[ \int_{S} f(x, y, z) \, \mathrm{d}\sigma = \int_R f(\sigma(u, v)) \, |{\bf n}| \mathrm{d}u \mathrm{d}v \]

Cuestión: ¿Puedes dar una interpretación a la integral de una función escalar sobre una superficie?

Ejercicio: Integra la función \(f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 +1}\) en el helicoloide dado por \(\sigma (r, \theta) = \left( r \cos \theta, r \sin \theta, \theta \right)\) con \(\theta \in [0, 2 \pi]\) y \(r \in [0, 1]\)

thetarange = (0., 2*np.pi, 60)
rrange     = (0.,      1., 60)
xfun = lambda r, theta : r * np.cos(theta) 
yfun = lambda r, theta : r * np.sin(theta) 
zfun = lambda r, theta : theta
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, rrange, thetarange, alpha = 0.5);

A partir de la superficie parametrizada:

\[ \sigma (r, \theta) = \left( r \cos \theta, r \sin \theta, \theta \right) \]

Calculamos los vectores:

\[ {\bf t}_r = \left( \cos \theta, \sin \theta, 0 \right), \]

\[ {\bf t}_{\theta} = \left( - r \sin \theta, r \cos \theta, 1 \right) \]

y el vector normal

\[\begin{split} {\bf n} = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \\ \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ - r \sin \theta & r \cos \theta & 1\\ \end{array} \right| = \left(\sin \theta, - \cos \theta, r \right) \end{split}\]

La función en la superficie vale:

\[ f(\sigma(r, \theta)) = \sqrt{ r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta + 1} = \sqrt{r^2 +1 } \]

El diferencial de área:

\[ \mathrm{d}\sigma = |{\bf n}| \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \sqrt{1+r^2} \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r \]

Y la integral de la función en la superficie:

\[ \int_{\sigma} f(x, y, z) \, \mathrm{d} \sigma = \int_0^{2 \pi} \int_0^1 \sqrt{r^2 + 1} \sqrt{r^2 +1} \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \]

\[ = \int_0^{2 \pi} \int_0^1 (r^2 +1) \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta = 2 \pi \left( r + \frac{r^3}{3 }\right) \Big|_0^1 = \frac{8 \pi}{3} \]

Integral de una función vectorial a través de una superfice

Sea \(S\) una superficie parametrizada con \(\sigma(u, v)\) en una region \(R\) de \((u, v)\), y \({\bf F}(x, y, z) = \left(F_x, F_y, F_z \right)\) una función vectorial definida en los puntos de la superficie. Llamamos integral de la función \({\bf F}(x, y, z)\) a través de la superficie \(\sigma(u, v)\) a:

\[ \int_{\sigma} {\bf F}(x, y, z) \, \mathrm{d} \vec{\sigma} = \int_R {\bf F}(\sigma(u, v)) \, {\bf n} \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v \]

Cuestión: ¿Puedes dar una interpretación de la integral de un campo \({\bf F}\) a través de una superficie? En Física seguro que has encontrado este caso con anterioridad. ¡Se trata del flujo!

Ejercicio: Integra el campo \({\bf F}(x, y, z) = (x, y, z)\) sobre la esfera de radio unidad.

r = 1
phirange   = (0., 2*np.pi, 20)
thetarange = (0.,   np.pi, 20) 
xrange     = (-1., 1., 4)
Ex   = lambda x, y, z : x
Ey   = lambda x, y, z : y
Ez   = lambda x, y, z : z
xfun = lambda phi, theta : r * np.sin(theta) * np.cos(phi)
yfun = lambda phi, theta : r * np.sin(theta) * np.sin(phi)
zfun = lambda phi, theta : r * np.cos(theta)
gf.quiver3d(Ex, Ey, Ez, xrange, xrange, xrange, color = 'b')
gf.wfsurface(xfun, yfun, zfun, phirange, thetarange, color = 'r', alpha = 0.6, newfig = False);

Vimos antes que:

\[ {\bf n} = \left( \sin^2 \theta \cos \phi, \sin^2 \theta \sin \phi, \cos \theta \sin \theta \right) \]

El campo en la esfera es:

\[ {\bf F}(\sigma(\theta, \phi)) = (\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta) \]

Por lo tanto:

\[ {\bf F}(\sigma (\theta, \phi)) \, {\bf n} = \sin^3 \theta \cos^2 \phi + \sin^3 \theta \sin^2 \phi + \sin \theta \cos^2 \theta = \sin \theta \]

Y la integral

\[ \int_{\sigma} {\bf F}({\bf x}) \, \mathrm{d} \vec{\sigma} = \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi = 4 \pi \]