Integral de línea

import time
print(' Última ejecución ', time.asctime() )

 Última ejecución  Tue Apr 11 18:07:07 2023

Estructura del tema

• [>] Integral de una función escalar a lo largo de una línea. Revisión de la parametrización de líneas.

• [>] Integral de una función vectorial a lo largo de una línea.

  • ejemplos sencillos.

Objectivos

Revisar la parametrización de líneas o trayectorias.

Definir la integral de una función escalar y vectorial a lo largo de una línea.

Mostrar algunos ejemplos sencillos.

# general imports
%matplotlib inline
%reload_ext autoreload
%autoreload 2

# numpy and matplotlib
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
matplotlib.style.use('ggplot')
import graph_utils as gf

figsize = 6, 3.8
cmap    = 'hot'

Integral de línea

Revisión de parametrización de líneas.

Hemos visto con anterioridad que podemos parametrizar una línea, \({\bf c}(t)\), de un espacio \(\mathrm{R}^n\), con \(n>1\), como una función vectorial definida en un intervalo \([t_a, t_b]\) de \(\mathrm{R}\).

Ejemplo: parametrización de una circunferencia de radio \(r\):

\[ t \in [0, 2 \pi) \to \left( r \cos \omega t , r \sin \omega t \right) \]

con \(\omega = 1\)

Ejemplo: parametrización de una hélice de \(n\) vueltas, de radio \(r\):

\[ t \in [0, 2 n \pi] \to \left( r \cos \omega t, r \sin \omega t, v_z t \right) \]

con \(v_z = 1, \; \omega = 1\).

r, w, vz, n = 1., 1., 1., 4
trange = (0., 2*n*np.pi, 100)
xfun = lambda t : r  * np.cos( w * t)
yfun = lambda t : r  * np.sin( w * t)
zfun = lambda t : vz * t
gf.line3d(xfun, yfun, zfun, trange);

Calculamos en su momento la longitud de arco, \(s\), de una línea, mediante la integral en una dimensión dada por:

\[ s = \int_{{\bf c}} \, \mathrm{d}s = \int_{t_a}^{t_b} | \dot{{\bf c}}(t) | \mathrm{d}t \]

donde

\[ {\bf \dot{c}}(t) = \left( \frac{\mathrm{d} x_1 (t)}{\mathrm{d}t}, \dots, \frac{\mathrm{d}x_n(t)}{\mathrm{d}t}\right) \]

es la derivada de \({\bf c}(t)\).

y

\[ \mathrm{d}s = | {\bf \dot{c}}(t)| \, \mathrm{d}t \]

es el diferencial de arco. Fíjate que es una cantidad escalar.

En física, si \(t\) es el tiempo, \({\bf c}(t)\) es la trayectoria de un móvil, \({\bf \dot{c}}(t)\), es la velocidad, y \(\mathrm{d}{\bf s} = |{\bf \dot{c}}(t)| \, \mathrm{d}t\), el diferencial de distancia recorrida en un diferencial de tiempo \(\mathrm{d}t\).

Integral de una función escalar a lo largo de una línea

El una famosa escena de la novela «Las aventuras de Tom Sowyer», la tía de Tom le obliga a pintar la valla de la casa como castigo por una de sus travesuras, pero Tom, que es un pícaro, convence a sus amigos para que la pinten por él diciéndoles que pintar es muy divertido, ¡todo un influencer para la época!, pero ¿sabría Tom calcular la superficie de la valla? [>]

Consideremos que la valla se asienta sobre una línea, \({\bf c}(t)\), y tiene un altura, \(f(x, y)\), en cada punto de esa línea, \(f({\bf c}(t))\). El área de la valla, \(\mathcal{A}\), será la integral de la altura, \(f(x, y)\) por el diferencial de arco, \(\mathrm{d}s = |{\bf \dot{c}}| \, \mathrm{d}t\), a lo largo de la línea.

\[ \mathcal{A} = \int_{{\bf c}} f(x, y) \, \mathrm{d} s = \int_{t_a}^{t_b} f({\bf c}(t)) \, |{\bf \dot{c}}(t)| \mathrm{d}t \]

que es simplemente una integral de una dimensión en \(t\).

Ejercicio: Calcula la integral de línea de la función \(f(x, y) = x + y\) a lo largo de la circunferencia de radio unidad.

trange = (0., 2.*np.pi, 60)
cx = lambda t   : np.cos(t)
cy = lambda t   : np.sin(t)
fc = lambda x, y: x + y
gf.int_fscalar_line(fc, cx, cy, trange)

La circunferencia de radio unidad puede parametrizarse con:

\[ {\bf c}(t) = \left( \cos t, \sin t \right), \;\; t \in [0, \,2 \pi) \]

El diferencia de longitud de arco:

\[ {\bf \dot{c}}(t) = \left( -\sin t, \cos t \right) \to \mathrm{d} s = |{\bf \dot{c}}(t)| \mathrm{d}t = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} \; \mathrm{d}t = \mathrm{d}t \]

La integral a lo largo de la circunferencia,

\[ \int_{{\bf c}} (x + y) \, \mathrm{d} s = \int_{0}^{2 \pi} (\sin t + \cos t) \, \mathrm{d}t = -\cos t + \sin t \Big|_0^{2 \pi} = 0 \]

Ejercicio: Calcula la integral de la función \(f(x, y) = 1 + y/3\), a lo largo de la línea parametrizada por \({\bf c}(t) = (3 \cos^3 t, 3 \sin^3 t)\) con \(t \in [0, \pi/2]\).

\[ {\bf c}(t) = \left( 3 \cos^3 t, 3 \sin^3t \right) \to {\bf \dot{c}}(t) = 9 \cos t \sin t \left( -\cos t, \sin t \right) \]

\[ \mathrm{d} s = |\dot{{\bf c}}(t)| \mathrm{d}t = 9 \cos t \sin t \]

\[ f({\bf c} (t)) = (1 + \sin^3 t) \]

Luego:

\[ \int_{{\bf c}} f(x, y) \, \mathrm{d}s = \int_0^{\pi/2} 9 \cos t \sin t \, ( 1 + \sin^3 t) \, \mathrm{d}t \]

\[ = 9 \left[ \frac{\sin^2 t}{2} + \frac{\sin^5 t}{5} \right]_0^{\pi/2} = 9 \frac{7}{10} \]

trange = (0., np.pi/2., 60)
cx = lambda t   : 3. * np.cos(t)**3
cy = lambda t   : 3. * np.sin(t)**3
fc = lambda x, y: 1 + y/3.
gf.int_fscalar_line(fc, cx, cy, trange)

Integral de una función vectorial a lo largo de una línea

Definimos la integral de una función vectoral, \({\bf F}({\bf x})\), a lo largo de una línea, \({\bf c}(t)\), con \(t \in [t_a, t_b]\), como:

\[ \int_{{\bf c}} {\bf F} ({\bf x}) \, \mathrm{d} {\bf s} = \int_{t_a}^{t_b} {\bf F}({\bf c}(t)) \, {\bf {\dot c}}(t) \, \mathrm{d} t \]

donde \({\bf F}({\bf c}(t))\) es la función valorada a lo largo de la línea y \(\mathrm{d} {\bf s} = {\bf \dot{c}}(t) \, \mathrm{d}t\) es el diferencial de arco. Fíjate que ahora \(\mathrm{d} {\bf s}\) es un diferencial vectorial y que integramos el producto escalar entre ambos vectores, \({\bf F} \, \mathrm{d}{\bf s}\).

Ejemplo: Sea la función vectoral \({\bf E}(x, y) = (0, E_0)\). Calcular la integral a lo largo de una línea horizonal, otra vertical y en la diagonal.

xrange = (-1.5, 1.5, 11)
trange = (-1, 1., 40)
Ex = lambda x, y : 0 + 0.*x
Ey = lambda x, y : 1.+ 0.*x
cx = lambda t    : 0.*t
cy = lambda t    : 1.*t
gf.line2d(cx, cy, trange); 
gf.quiver2d(Ex, Ey, xrange, xrange);

Ejemplo: Calcula la integral de la función \({\bf F}(x,y) = (x, y)\) a lo largo de la circunferencia de radio unidad.

xrange = (-1.5, 1.5, 21)
trange = (0, 2.*np.pi, 40)
Ex = lambda x, y : x
Ey = lambda x, y : y
cx = lambda t    : np.cos(t)
cy = lambda t    : np.sin(t)
gf.line2d(cx, cy, trange); 
gf.quiver2d(Ex, Ey, xrange, xrange);
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')

En la literatura es normal encontrar la expresión:

\[ \mathrm{d} {\bf s} = (\mathrm{d}x, \mathrm{d} y) \to {\bf {\dot c}} \, \mathrm{d} t = (\dot{x}, \dot{y}) \, \mathrm{d}t \]

Y por lo tanto:

\[ {\bf F} \, \mathrm{d}{\bf s} = (F_x, F_y) \, (\mathrm{d}x, \mathrm{d} y) =F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d}y \to (F_x \dot{x} + F_y \dot{y}) \, \mathrm{d}t \]

Observa: En la siguiente figura se muestra el campo \({\bf F}(x, y) = (y, 0)\) y la elipse con ejes \(a, b\), que recorremos en este caso en sentido horario (empieza por ejemplo en (-a, 0)). Hazte una idea de cómo es el producto escalar entre el campo, \({\bf F}\), y \(\mathrm{d}{\bf s}\) a lo largo de elipse. ¿Dónde es mayor? ¿Dónde es nulo?

a, b = 2., 1.
xrange = (-2.0, 2.0, 13)
trange = (0, 2.*np.pi, 41)
Ex = lambda x, y :      y * 1./2.
Ey = lambda x, y :      x * 0.
cx = lambda t    : a * np.cos(t)
cy = lambda t    : b * np.sin(t)
gf.line2d(cx, cy, trange); 
gf.quiver2d(Ex, Ey, xrange, xrange);

Ejercicio: Integra ahora \({\bf F}(x, y) = (-y, 0)\) en la elipse de exes \(a, b\), recorrida en sentido anti-horario.

La elipse podemos parametrizarla con:

\[ {\bf c}(t) = \left(a \cos t, b \sin t \right), \; t \in [0, 2 \pi) \]

su derivada es:

\[ \dot{{\bf c}}(t) = \left(-a \sin t, b \cos t \right) \]

El campo, \({\bf F}(x, y) = (-y, 0)\) valorado en la elipse es:

\[ {\bf F}({\bf c}(t)) = (-b \sin t, 0) \]

Por lo tanto el producto:

\[ {\bf F}({\bf c}(t)) \, \dot{{\bf c}}(t) = ab \, \sin^2 t = ab \frac{( 1 - \cos 2 t)}{2} \]

Luego:

\[ \int_{{\bf c}} {\bf F} \, \mathrm{d}{\bf s} = \int_0^{2\pi} \frac{ab}{2}(1-\cos 2t) \mathrm{d}t = \frac{ab}{2} \left(t - \frac{\sin 2t}{2} \right) \Big|_0^{2\pi}= a b \pi \]

Ejercicio: Integra \({\bf F}(x, y) = (-y, x)/2\) en la elipse de exes \(a, b\), recorrida en sentido anti-horario.

La elipse podemos parametrizarla con:

\[ {\bf c}(t) = \left(a \cos t, b \sin t \right), \; t \in [0, 2 \pi) \]

su derivada es:

\[ \dot{{\bf c}}(t) = \left(-a \sin t, b \cos t \right) \]

El campo, \({\bf F}(x, y) = (-y, x)/2\) valorado en la elipse es:

\[ {\bf F}({\bf c}(t)) = (-b \sin t, a \cos t)/2 \]

Por lo tanto el producto:

\[ {\bf F}({\bf c}(t)) \, \dot{{\bf c}}(t) = ab \, (\sin^2 t +\cos^2 t)/2 = ab/2 \]

Luego:

\[ \int_{{\bf c}} {\bf F} \, \mathrm{d}{\bf s} = \int_0^{2\pi} \frac{ab}{2} \mathrm{d}t = \frac{ab}{2} t \big|_0^{2\pi}= a b \pi \]