Teorema de Green

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print(' Última actualización ', time.asctime() )

 Última actualización  Tue Apr 11 18:07:03 2023

Indice

• Integral de área como integral de línea

• [>] Teorema de Green

• [>] Teorema de la divergencia

Objectivos

Relación entre la integral de área de una región y la integral de línea de determinados campos vectoriales.

El teorema de Green. Relación entre la integral a lo largo de una curva cerrada de una función vectorial y la integral de la tercera componente del rotacional dentro de la región encerrada.

Demostrar el teorema con dos lemas.

Mostrar algunos ejemplos sencillos.

# general imports
%matplotlib inline
%reload_ext autoreload
%autoreload 2

# numpy and matplotlib
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
matplotlib.style.use('ggplot')
import graph_utils as gf

figsize = 6, 3.8
cmap    = 'hot'

Teorema de Green

Relación entre integral de línea de un campo vectorial e integral de superficie.

Considera una región, \(R\), en plano \((x, y)\) definida de tipo I:

\[ \{ a \le x \le b, \; y_1(x) \le y \le y_2(x)\} \]

donde \(y_1(x)\) e \(y_2(x)\) son las funciones que limitan la parte inferior y superior de la región.

Date cuenta que podemos parametrizar la línea del límite inferior de la región con:

\[ x \in [a, b], \; {\bf c_1}(x) = \left(x, y_1(x) \right) \]

y la superior con:

\[ x \in [a, b], \; {\bf c_2}(x) = \left( x, y_2(x) \right) \]

Observa: En la siguiente figura se muestra el campo \({\bf F}(x, y) = (y, 0)\) y la elipse de ejes \(a=2\) en \(x\) y \(b=1\) en \(y\). Recuerda que el área de elipse es \(a b \pi\).

a, b = 2., 1.
xrange = (-2.0, 2.0, 13)
trange = (0, 2.*np.pi, 41)
Ex = lambda x, y :     y * 1.
Ey = lambda x, y :     x * 0.
cx = lambda t    : a * np.cos(t)
cy = lambda t    : b * np.sin(t)
gf.line2d(cx, cy, trange); 
gf.quiver2d(Ex, Ey, xrange, xrange);

Observa: En la siguiente figura se muestra cómo podemos definir la región de la elipse de tipo I, y parametrizar las dos curvas que determinan la frontera de la región.

trange = (0., np.pi, 60)
gf.line2d(cx, cy, trange, color = 'blue');
plt.text(0.,  0.75, "$y_2(x)$", fontsize = 14);
trange = (np.pi, 2.*np.pi, 60)
gf.line2d(cx, cy, trange, newfig = False, color = 'red');
plt.text(0.,  0.75, "$y_2(x)$", color = 'blue', fontsize = 14);
plt.text(0., -0.75, "$y_1(x)$", color = 'red' , fontsize = 14);

Cálculemos ahora el área de la región:

\[ \int_R \mathrm{d}x \mathrm{d} y = \int_a^b \left[ \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \mathrm{dy} \right]\mathrm{d}x \]

\[ = \int_a^b \left(y_2(x) - y_1(x) \right) \, \mathrm{d} x = \int_a^b y_2(x) \,\mathrm{d}x - \int_a^b y_1(x) \,\mathrm{d}x \]

Si calculamos ahora la integral de la función vectorial \({\bf F}(x, y) = (y, 0)\) a lo largo de \({\bf c}_1(x)\),

\[ \int_{{\bf c}_1} {\bf F}({\bf x}) \, \mathrm{d} {\bf s} = \int_{{\bf c}_1} y \, \mathrm{d}x \]

Dado que \({\bf c}_1 = (x, y_1(x))\), el elemento vectorial diferencial de arco es:

\[ \mathrm{d} {\bf s} = {\bf {\dot c}}(x) \,\mathrm{d} x = \left(1, \dot{y}_1(x) \right) \mathrm{d} x \]

Y el producto vectorial:

\[ {\bf F}({\bf x}) \, \mathrm{d} {\bf s} \to (y_1(x), 0) \, \left(1, \dot{y}_1(x) \right) \, \mathrm{d}x = y_1(x) \, \mathrm{d}x \]

Por lo tanto:

\[ \int_{{\bf c}_1} {\bf F}({\bf x}) \, \mathrm{d} {\bf s} = \int_{{\bf c}_1} y \, \mathrm{d}x = \int_a^b y_1(x) \mathrm{d}x \]

Que corresponde al área que hay entre la línea \(y_1(x)\) (o \({\bf c}_1\)) y el eje \(y=0\), en el intervalo \([a, b]\) de \(x\).

De igual forma, la integral de la función vectorial, \({\bf F}(x, y) = (y, 0)\), a lo largo de la línea superior, \({\bf c}_2(x)\) que da la frontera superior de la región queda:

\[ \int_{{\bf c}_2} {\bf F}({\bf x}) \, \mathrm{d} {\bf s} = \int_{{\bf c}_2} y \, \mathrm{d}x = \int_a^b y_2(x) \, \mathrm{d} x \]

Si enlazamos la integral de línea de la función vectorial \((y, 0)\) a lo largo de \({\bf c}_2(x)\) y luego \({\bf c}_1(x)\) (en sentido contrario), nos da una integral a lo largo de una curva cerrada, \({\bf c} \), en sentido horario, que corresponde al área de la región, \(R\), encerrada por \({\bf c}\).

\[ \oint_{c} (y, 0) \, \mathrm{d} {\bf s} = \oint_{\bf c} y \, \mathrm{d}x = \int_{{\bf c}_2} y \, \mathrm{d}x - \int_{{\bf c}_1} y \, \mathrm{d}x \]

\[ = \int_a^b \ y_2(x) - \int_a^b y_1(x) \mathrm{d} x = \int_{R} \mathrm{d}x \mathrm{d} y \]

Ejercicio: Verifica que la integral de la función vectorial \({\bf F}(x, y) = (0, x)\) a lo largo de la frontera, \({\bf c}(y)\), en sentido anti-horario, de una región, \(R\), de \((x, y)\) parametrizada de tipo II, es igual al área de \(R\).

\[ \oint_{{\bf c}} (0, x) \, \mathrm{d} {\bf s} = \oint_{{\bf c}} x \, \mathrm{d}y = \int_{R} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

Teorema de Green

Teorema: La integral del campo vectorial, \({\bf F}(x, y) = \left( F_x(x, y), \; F_y(x, y)\right)\), con \(F_x(x, y), F_y(x, y)\) con derivadas primeras continuas en una región, \(R\), a lo largo de una línea frontera, \({\bf c}\) de la región \(R\), recorrida en sentido anti-horario es:

\[\begin{split} \oint_{{\bf c}} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d} {\bf s} = \oint_{{\bf c}} F_x(x, y) \, \mathrm{d}x + F_y(x, y) \, \mathrm{d}y \\ = \int_{R} \left( \frac{\partial F_y(x, y)}{\partial x} - \frac{\partial F_x(x, y)}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{split}\]

Lema: Sea una función vectorial, \({\bf F}(x, y) = \left( F_x(x, y), 0 \right)\) con \(F_x(x, y)\) con derivadas primeras continuas en una región, \(R\); la integral de \({\bf F} \) a lo largo de una línea frontera, \({\bf c}\), de \(R\), recorrida en sentido anti-horario es:

\[ \oint_{{\bf c}} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d} {\bf s} = \oint_{{\bf c}} F_x(x, y) \, \mathrm{d}x = \int_{R} - \frac{\partial F_x(x, y)}{\partial y} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

Consideremos que definimos la región de tipo I, con dos líneas frontera, parametrizadas en función de \(x\) en el intervalo \([a, b]\).

\[ \{ a \le x \le b, \; y_1(x) \le y \le y_2(x)\} \]

con:

\[ {\bf c}_1(x) = \left( x, y_1(x) \right), \; x \in [a, b] \]

\[ {\bf c}_2(x) = \left( x, y_2(x) \right), \; x \in [a, b] \]

trange = (0., np.pi, 60)
gf.line2d(cx, cy, trange, color = 'blue');
plt.text(0.,  0.75, "$y_2(x)$", fontsize = 14);
trange = (np.pi, 2.*np.pi, 60)
gf.line2d(cx, cy, trange, newfig = False, color = 'red');
plt.text(0.,  0.75, "$y_2(x)$", color = 'blue', fontsize = 14);
plt.text(0., -0.75, "$y_1(x)$", color = 'red' , fontsize = 14);

La integral (nota el cambio de signo):

\[ \int_{R} \frac{\partial F_x(x, y)}{\partial y} \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \left[ \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \frac{\partial F_x(x, y)}{\partial y} \mathrm{d}y \right]  \mathrm{d}x \]

\[ = \int_a^b F_x(x, y) \Big|_{y_1(x)}^{y_2(x)} \mathrm{d}x = \int_a^b F_x(x, y_2(x)) \, \mathrm{d}x - \int_a^b F_x(x, y_1(x)) \, \mathrm{d}x \]

Por otro lado, la integral en la línea \({\bf c}_2(x)\) de la función vectorial \({\bf F}(x, y ) = \left(F_x(x, y), 0 \right)\) es:

\[ \int_{{\bf c}_2} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf s} = \int_{{\bf c}_2} \left(F_x(x, y), 0\right) \, \mathrm{d}{\bf s} = \int_{{\bf c}_2} F_x(x, y) \, \mathrm{d} x \]

Como en el caso anterior:

\[ \mathrm{d} {\bf s} = {\bf {\dot c}_2}(x) \, \mathrm{d}x = \left(1, \dot{y}_2(x) \right) \mathrm{d}x \]

Y por lo tanto:

\[\begin{split} \int_{{\bf c}_2} \left(F_x(x, y), 0 \right) \,\mathrm{d} {\bf s} = \int_a^b \left( F_x(x, y_2(x)), 0 \right) \, \left( 1, \dot{y}_2(x) \right) \, \mathrm{d} x \\ = \int_a^b F_x(x, y_2(x)) \, \mathrm{d}x \end{split}\]

que corresponde al primer término de la integral anterior.

Si calculamos entonces la integral del campo \({\bf F}(x, y) = \left( F_x(x, y), 0 \right)\) en dirección horaria de la curva cerrada, \({\bf c}\), que es la frontera de \(R\), y que corresponde a integrar en \({\bf c}_2\) y luego en \({\bf c}_1\) (en sentido opuesto), esto es, en sentido horario, obtenemos:

\[ \oint_{{\bf c}} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf s} = \int_{{\bf c}_2} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf s} - \int_{{\bf c}_1} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf s} = \]

\[\begin{split} \int_a^b F_x(x, y_2(x)) \, \mathrm{d}x - \int_a^b F_x(x, y_1(x)) \, \mathrm{d}x = \\ \int_R \frac{\partial F_x(x, y)}{\partial y} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{split}\]

Si consideramos el sentido anti-horario, implica un cambio de signo en el lado derecho de la igualdad:

\[ \oint_{{\bf c}} \left(F_x(x, y), 0 \right) \mathrm{d} {\bf s} = \int_{R} -\frac{\partial F_x(x, y)}{\partial y} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

con lo que hemos verificado el lema.

Ejercicio: Verificar ahora este segundo lema:

Lema: La integral de la función vectorial \({\bf F}(x, y) = \left( 0, F_y(x, y) \right)\) a lo largo de la curva \({\bf c}\), que limita una región \(R\), en sentido anti-horario es:

\[ \oint_{{\bf c}} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf s} = \oint_{{\bf c}} F_y(x, y) \, \mathrm{d} y = \int \frac{\partial F_y(x, y)}{\partial x} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]

Con la demostración de ambos lemas, queda demostrado el teorema de Green.

Corolario: La integral en sentido anti-horario de la función vectorial \({\bf F}(x, y) = \left( - y, x \right) /2\) a lo largo de la línea frontera \({\bf c}\) de una región \(R\) corresponde a su área:

El término que aparece en el teorema de Green es:

\[ \left( \frac{\partial F_y(x, y)}{\partial x} - \frac{\partial F_x (x, y)}{\partial y} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]

Por lo tanto:

\[ \oint_{{\bf c}} \frac{1}{2}(-y, x)\, \mathrm{d} {\bf s} = \oint_{{\bf c}} -\frac{y}{2} \, \mathrm{d}x + \frac{x}{2} \mathrm{d}y = \int_{R} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

Ejercicio: Verificar el teorema de Green con la función vectorial \({\bf F}(x, y) = (x, y)\) en el disco de radio unidad.

El término de la derecha del teorema de Green es:

\[ \frac{\partial F_y(x, y)}{\partial x} - \frac{\partial F_x(x, y)}{\partial y} = 0 \]

Para la parametrización de la circunferencia, en sentido anti-horario:

\[ t \in [0, 2 \pi), \; {\bf c}(t) = \left( \cos t, \sin t\right) \]

La integral de línea:

\[ \oint_{\bf c} (x, y) \, \mathrm{d}{\bf s} = \int_0^{2\pi} (\cos t, \sin t) \, (-\sin t, \cos t) \, \mathrm{d} t= 0 \]

xrange = (-1.5, 1.5, 20)
trange = (0, 2.*np.pi, 101)
Ex = lambda x, y : 1.*x
Ey = lambda x, y : 1.*y
cx = lambda t    : np.cos(t)
cy = lambda t    : np.sin(t)
gf.line2d(cx, cy, trange); 
gf.quiver2d(Ex, Ey, xrange, xrange);
plt.gca().set_aspect('equal', 'box')

Teorema de la divergencia.

Vamos a considerar la integral de una función vectorial de dos dimensiones, \({\bf F}({\bf x})\), a través de una línea cerrada, \({\bf c}(t)\).

Dado el elemento vectorial diferencial de arco \(\mathrm{d} {\bf s} = (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y)\), en vez de calcular el productor escalar del campo a lo largo de la trayectoria, \( {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf s}\), lo calculamos a través de ella, normal a ella, \({\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf n}\), donde, \(\mathrm{d}{\bf n}\) es normal a \(\mathrm{d}{\bf s}\), pero con igual módulo, donde definimos \(\mathrm{d}{\bf n} = ( \mathrm{d}y, -\mathrm{d}x)\).

Esto es:

\[ \int_{{\bf c}} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf n} = \int_{{\bf c}} F_x(x, y) \, \mathrm{d}y - F_y(x, y) \,\mathrm{d}x \]

xrange = (-2., 2., 10)
Ex = lambda x, y:  -y/2
Ey = lambda x, y:   x/2
gf.quiver2d(Ex, Ey, xrange, xrange);
x0, y0, xside, yside = -1, -1., 2., 2.
gf.square( (x0, y0), xside, yside, color = 'g');
gf.arrow ( x0 + 0.5 * xside, y0              ,  0.2 * xside,  0.0       , head = 0.1, color = 'r');
gf.arrow ( x0 + xside      , y0 + 0.5 * yside,  0.0        ,  0.2* yside, head = 0.1, color = 'r');
gf.arrow ( x0 + 0.5 * xside, y0 + 1.0 * yside, -0.2 * xside,  0.0       , head = 0.1, color = 'r');
gf.arrow ( x0              , y0 + 0.5 * yside,  0.0        , -0.2* yside, head = 0.1, color = 'r');
plt.gca().set_aspect('equal', 'box');
gf.arrow ( x0 + 0.5 * xside, y0              ,  0.0 * xside, -0.2 * yside, head = 0.05, color = 'b');
gf.arrow ( x0 + xside      , y0 + 0.5 * yside,  0.2 * xside,  0.0 * yside, head = 0.05, color = 'b');
gf.arrow ( x0 + 0.5 * xside, y0 + 1.0 * yside,  0.0 * xside,  0.2 * yside, head = 0.05, color = 'b');
gf.arrow ( x0              , y0 + 0.5 * yside, -0.2 * xside, -0.0 * yside, head = 0.05, color = 'b');

Que podemos calcular a partir de la parametrización de la curva: \({\bf c}(t) = (x(t), y(t))\), con \(t \in [t_0, t_1]\).

\[ \mathrm{d}{\bf n} = (\mathrm{d}y, -\mathrm{d}x) \to (\dot{y}(t), - \dot{x}(t)) \, \mathrm{d}t \]

Por lo tanto:

\[ \int_{{\bf c}} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf n} = \int_{t_0}^{t_1} \left( F_x(x(t), y(t)), \, F_y(x(t), y(t)) \right) \, \left( \dot{y}(t), - \dot{x}(t) \right) \mathrm{d}t \]

Si aplicamos el teorema de Green a una curva cerrada recorrida en sentido anti-horario, \(\mathrm{d}{\bf n} = (\mathrm{d}y, - \mathrm{d}x)\)

\[ \oint_{{\bf c}} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf n} = \int_{{\bf c}} F_x(x, y) \, \mathrm{d}y - F_y(x, y) \,\mathrm{d}x \]

Si llamamos, por visibilidad, \(G_x = - F_y, \; G_y = F_x\), y aplicamos el teorema de Green:

\[ = \int_{{\bf c}} G_x \mathrm{d} x + G_y \mathrm{d}y = \int_{R} \left( \frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]

Si sustituimos de nuevo \({\bf G}(x, y) = (G_x, G_y) = (-F_y, F_x)\), tenemos:

\[ \oint_{{\bf c}} {\bf F}(x, y) \, \mathrm{d}{\bf n} = \int_{R} \left( \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]

que se denomina teorema de la divergencia.

Explora: Cómo es la integral de los campos a lo largo y a través de la espira cuadrada centrada en el origen. Dibuja por ejemplo los siguientes campos: \( {\bf F}(x, y) = (\pm x, \pm y)/2\) y \( {\bf F}(x, y) = (\pm y , \pm x)/2\)

xrange = (-2., 2., 10)
Ex = lambda x, y:  -x/2 # + x/2
Ey = lambda x, y:  -y/2 # + y/2
gf.quiver2d(Ex, Ey, xrange, xrange);
x0, y0, xside, yside = -1, -1., 2., 2.
gf.square( (x0, y0), xside, yside, color = 'r');
gf.arrow ( x0 + 0.4 * xside, y0              ,  0.2 * xside,  0.0       , head = 0.1, color = 'r');
gf.arrow ( x0 + xside      , y0 + 0.4 * yside,  0.0        ,  0.2* yside, head = 0.1, color = 'r');
gf.arrow ( x0 + 0.6 * xside, y0 + 1.0 * yside, -0.2 * xside,  0.0       , head = 0.1, color = 'r');
gf.arrow ( x0              , y0 + 0.6 * yside,  0.0        , -0.2* yside, head = 0.1, color = 'r');
plt.gca().set_aspect('equal', 'box');

gf.quiver2d(Ex, Ey, xrange, xrange);
x0, y0, xside, yside = -1, -1., 2., 2.
gf.square( (x0, y0), xside, yside, color = 'r');
gf.arrow ( x0 + 0.5 * xside, y0              ,  0.0 * xside, -0.2 * yside, head = 0.05, color = 'r');
gf.arrow ( x0 + xside      , y0 + 0.5 * yside,  0.2 * xside,  0.0 * yside, head = 0.05, color = 'r');
gf.arrow ( x0 + 0.5 * xside, y0 + 1.0 * yside,  0.0 * xside,  0.2 * yside, head = 0.05, color = 'r');
gf.arrow ( x0              , y0 + 0.5 * yside, -0.2 * xside, -0.0 * yside, head = 0.05, color = 'r');
plt.gca().set_aspect('equal', 'box');

Apéndices

Ejercicio: Verifica el teorema de Green para el campo, \({\bf F}(x, y) = (y, x^2)\) en la región definida como: \(\{0 \le x \le 1, \; x^2 \le y \le x \}\).

xrange = (-0., 1., 15)
trange = (0., 1., 50)
Ex     = lambda x, y: y
Ey     = lambda x, y: x*x
fx     = lambda x   : x
fy1    = lambda x   : x*x
fy2    = lambda x   : x
gf.quiver2d(Ex, Ey, xrange, xrange);
gf.line2d(fx, fy1, trange, newfig = False);
gf.line2d(fx, fy2, trange, newfig = False);

1. Calculamos

\[ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \to 2x -1 \]

Luego:

\[ \int_R \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \to \int_0^1 \left[ \int_{x}^{x^2} (2x -1) \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x \]

\[ = \int_0^1 (2x-1) \, y \big|_x^{x^2} \mathrm{d}x = \int_0^1 (2x-1) (x-x^2) \mathrm{d}x \]

\[ = \int_0^1 (-2x^3 + 3x^2 -x) \mathrm{d}x = \left(-\frac{x^4}{2} + x^3 - \frac{x}{2} \right) \Big|_0^1 = 0 \]

1. Parametrizamos la línea frontera inferior \({\bf c}_1(x)\) y superior \({\bf c}_2(x)\):

\[ {\bf c}_1(x) = (x, x^2), \; \dot{{\bf c}}_1(x) = (1, 2x), \; x \in [0, 1] \]

\[ {\bf c}_2(x) = (x, x), \; \dot{{\bf c}}_2(x) = (1, 1), \; x \in [0, 1] \]

2i) La integral del campo, \({\bf F}(x, y) = (y, x^2)\) a lo largo de \({\bf c}_1\) es:

\[\begin{split} \int_{{\bf c}_1} {\bf F} \, \mathrm{d}{\bf s} \to \int_0^1 (x^2, x^2) \, (1, 2x) \, \mathrm{d}x = \int_0^1 x^2 + 2x^3 \mathrm{d}x \\ = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{2} \right) \Big|_0^1 = \frac{5}{6} \end{split}\]

2ii) La integral del campo a lo largo de \({\bf c}_2\) es:

\[\begin{split} \int_{{\bf c}_2} {\bf F} \, \mathrm{d}{\bf s} \to \int_0^1 (x, x^2) \, (1, 1) \, \mathrm{d}x = \int_0^1 x + x^2 \mathrm{d}x \\ = \left(\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) \Big|_0^1 = \frac{5}{6} \end{split}\]

2iii) La integral del campo a lo largo de \({\bf c}_1\) y luego \({\bf c}_2\) (en sentido contrario), de tal forma que recorrarmos la frontera, \({\bf c}\), en sentido antihorario es:

\[ \oint_{{\bf c}} {\bf F} \, \mathrm{d} {\bf s} = \int_{{\bf c}_1} {\bf F} \, \mathrm{d} {\bf s} - \int_{{\bf c}_2} {\bf F} \, \mathrm{d} {\bf s} = \frac{5}{6} - \frac{5}{6} = 0 \]